Урок 1. Одиниці вимірювання об’ємові

Одну й ту саму банку можна наповнити або бензином, або водою або медом. Маса буде різною для кожної родини, а об'єм рідини – той самий. Об'єм посудини показує її місткість. Дві посудини мають однаковий об'єм, якщо рідина, яка заповнює одну з них, після переливання в другу посудину заповнює її повністю.

Якщо наповнити посудину вологим піском, а потім перевернути її і зняти, то утвориться фігура такого самого об'єму, як і посудина.

Якщо наповнити посудину вологим піском, а потім перевернути її і зняти, то утвориться фігура такого самого об’єму, як і посудина.

Для обчислення обсягів користуються результатами отриманими італійським математиком Бонавентура Кавальєрі, учнем Галілея, який сформулював так званий «принцип Кавальєрі» для обчислення обсягів усіх фігур. Пояснимо зміст цього принципу.

Уявімо собі фізичну модель, дуже схожу на чотирикутну піраміду, складену з тонких (наприклад, картонних) квадратиків послідовно спадних розмірів.

На малюнку зображено звичайну піраміду.

А на наступному малюнку – наближена модель з квадратних карток.

Тепер припустимо, що ми просвердлили в запропонованій моделі вузький отвір, що веде від вершини до деякої точки основи, і вставили в нього стрижень так, щоб він пробивав кожну квадратну пластинку. Тоді можна, не змінюючи положення нижнього кінця стрижня на підставі піраміди, нахилити стрижень. Форма моделі тоді зміниться, але її обсяг залишиться тим самим. Справа в тому, що об'єм піраміди – це просто загальний обсяг усіх квадратних пластинок, а цей загальний обсяг не змінюється, коли пластинки ковзають одна по одній.

Сформулюємо цей принцип у більш спільній ситуації.

Припустимо, що ми маємо дві фігури, основи яких лежать в одній площині.

Можна вважати, що ця площина є горизонтальною.

Якщо всі горизонтальні поперечні перерізи двох наших фігур, що знаходяться на тому самому рівні, мають одну й ту саму площу, то дві наші фігури мають один і той самий обсяг.

Принцип Кавальєрі ми сприймаємо як основну властивість виміру обсягів.

Нехай нам дано дві фігури  F₁  та  F₂  та площину  α. Якщо кожна площина, паралельна площині  α, перетинаючи одну фігуру, перетинає також і іншу, причому утворені при цьому перерізи даних фігур мають рівні площі, дані фігури мають один і той же обсяг.

Поняття об’єма фігур.

Об’єм – це величина, яка задовольняє наступним властивостям:

– кожна фігура має певний об’єм, виражений позитивним числом;

– рівні фігури мають рівні об’єми.

Одиницею виміру об'єму є об'єм куба з довжиною ребра  а, де  а – одиниця виміру довжини. Цей обсяг позначається  а³.

Об'єм куба зі стороною  а  дорівнює  а³.

V_куба = а³,

де  а – ребро куба.

Якщо одиницю довжини приймається  1 мм, то одиницею обсягу є  1 мм³ (кубічний міліметр).

Якщо одиницю довжини приймається  1 см, то одиницею обсягу є  1 см³ (кубічний сантиметр).

Якщо одиницю довжини приймається  1 м, то одиницею обсягу є  1 м³ (кубічний метр).

Для вимірювання об'ємів застосовують такі одиниці об'ємів:

кубічний міліметр,

кубічний сантиметр,

кубічний дециметр,

кубічний метр,

кубічний кілометр.

ПРИКЛАД:

Кубічний сантиметр – це об'єм куба з ребром  1 см.

Названі одиниці об'єму позначають так:

мм³,  см³,  дм³,  м³,  км³.

Як пов'язані між собою різні одиниці виміру ? У метричній системі кожна вища кубічна одиниця в  1000  разів більше сусідньої з нею нижчої одиниці. На цій підставі можна скласти наступну таблицю:

1 км³ = 1000 000 000 м³

1 м³   = 1000 000 см³

1 л     = 1 дм³   

1 м³   = 1000 дм³

1 дм³ = 1000 см³

1 см³ = 1000 мм³

Часто, особливо у повсякденній діяльності, використовуються невеликі обсяги рідин. Їх буває непросто уявляти. На відміну, наприклад, від літра. Кубічний дециметр називається літром (л). Відразу бачиться літрова банка, яку всі знають. Літр зазвичай використовується для вимірювання обсягів рідин – молока, гасу та ін. Літровий кухоль вміщує  1 дм³  рідини. Маса  1 літра води становить 1000 г, тобто  1 кг. Вимірюють рідини ще й у мілілітрах.

1 л = 1000 мл.

Перед приготуванням якоїсь страви часто необхідно розрахувати кількість продуктів. Якщо вони вимірюються у грамах чи кілограмах, то зробити це порівняно легко.

Але як бути, якщо за рецептом потрібна вода, олія, сироп ? Все те, що є рідиною. На допомогу прийде вже існуючи переведення мілілітрів у літри. Таким чином, достатньо розділити ту кількість мілілітрів, яка вказана рецептурі, на тисячу. І вийде потрібне значення літрів. Наприклад, 100 мл  ділимо на  1000 і отримуємо  0,1 л. 500  і  1000 мл  відповідно – це  0,5  та  1 л.

Міжнародна система одиниць багата на різні приставки, що допомагають позначати обсяг, довжину і вагу. Так, тисячні частки стандартних одиниць вимірювальної рідини позначаються приставкою милі.

При необхідності переведення одиниць виміру, досить згадати значення приставки – тисяча. Це допоможе вирішувати питання, що виникають, з мірою рідини.

Знати, як позначається той чи інший вимір, що означають приставки перед ними, дуже важливо.

Тоді необхідність швидкого переведення з одного в інше не змусить довго думати та шукати відповідь.     

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 2. Об’єм прямий призми
• Урок 3. Об’єм похилої призми
• Урок 4. Об’єм правильної призми
• Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об’єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об’єм подібних тіл