Урок 18. Правильні багатогранники

воскресенье, 18 февраля 2018 г.

Урок 18. Правильні багатогранники

Багатогранник називають правильним, якщо в нього всі грані є правильними багатокутниками і в кожній вершині сходиться одне й те саме число ребер.

Правильні багатогранники мають правильну сітку, тобто всі їх грані мають однакове число сторін, а з кожної вершини виходить однакове число ребер. Доведено, що існує тільки п'ять правильних сіток, отже, і п'ять правильних опуклих багатогранники.

Сума чисел граней і вершин опуклого багатогранника на два більша за число його ребер:

В + Г = Р + 2,

де В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер багатогранника.

Тетраедр (правильний чотиригранник), гранями якого є правильні трикутники. Тетраедр має 4 грані, 6 ребер і 4 вершини, в кожній з яких сходяться по 3 ребра.

Розгортка тетраедра.

Властивості тетраєдра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Гексаедр (правильний шестигранник – куб), гранями якого є правильні чотирикутники. Гексаедр має 6 граней, 12 ребер і 8 вершин, в кожній з яких сходяться по 3 ребра.

Розгортка гексаедра.

Властивості гексаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Октаедр (правильний восьмигранник), гранями якого є правильні трикутники. Октаедр має 8 граней, 12 ребер і 6 вершин, в кожній з яких сходяться по 4 ребра.

Розгортка октаедра.

Властивості октаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Додекаедр (правильний дванадцятигранник), гранями якого є правильні п'ятикутники. Додекаедр має 4 граней, 30 ребер і 20 вершин, в кожній з яких сходяться по 3 ребра.

Розгортка додекаедра.

Властивості додекаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Ікосаедр (правильний двадцятигранник), гранями якого є правильні трикутники. Ікосаедр має 20 граней, 30 ребер і 12 вершин, в кожній з яких сходяться по 5 ребер.

Розгортка ікосаедра.

Властивості ікосаедра і співвідношення між його елементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Визначити об'єм тетраедра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Об'єм тетраедра (як і будь-якої піраміди) обчислюють за формулою:

де – S_OC = S_ABC – площа основи (трикутника АВС),

H = DO – висота тетраедра.

Тетраедр АВСD – трикутна піраміда, всі ребра якої рівні і дорівнюють а.

Тому в основі лежить правильний (рівносторонній) трикутник зі стороною а. Звідси площу основи знаходимо за формулою для рівностороннього трикутника:

Оскільки тетраедр – правильна трикутна піраміда, то висота DO проектується в центр описаного навколо трикутника АВС кола, радіус якого рівний:

Висота тетраедра DO перпендикулярна до площини основи (трикутника АВС), тому вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в площині основи. Звідси DO ⊥ AO, тому трикутник АOD (∠ AOD = 90°) – прямокутний.

В ньому відома AD = a – гіпотенуза (довжина ребра тетраедра) і