Урок 2. Об'єм прямий призми

воскресенье, 4 февраля 2018 г.

Урок 2. Об'єм прямий призми

Основні припущення про об'єми.

Об'ємом геометричного тіла називається величина частини простору, яку займає це тіло.

Прийнято розглядати об'єм як величину, яка має такі властивості:

– рівні тіла мають рівні об'єми;

– об'єм будь-якого тіла, що складається з частин, дорівнює сумі об'ємів цих частин;

– якщо з двох геометричних тіл перше повністю знаходиться в середині другого, то об'єм першого тіла не більший за об'єм другого;

– якщо два тіла можна розмістити так, що будь-яка площина, що паралельна до якої-небудь даної площини і перетинає обидва тіла, дає в перерізі з ними рівновеликі фігури, то об'єми таких тіл однакові.

Об'єм прямий призми V дорівнює добутку її основи на висоту.

де S_осн – площа основи призми, h – висота призми.

Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 9 см і 14 см і кутом між ними 30°. Висота призми – 15 см. Обчислите об'єм призми.

S_осн = 9 × 14 × sin 30° = 9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

V = S_осн × Н = 63 × 15 = 945 (см³).

ВІДПОВІДЬ:

945 см³.

ЗАДАЧА:

Дано пряму чотирикутну призму АС₁, у якої

і двогранний кут AA₁OO₁DD₁ = α. Знайти об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Об'єм призми V= SH, де S – площа основи, а Н – висота призми. За умовою задачі площа основи S = m. Треба визначити висоту призми OO₁ = H (призма пряма: OO₁ ⊥ пл. ABCD).

Діагоналі основи призми

визначаємо за даними площами діагональних перерізів

p = H × AC, q = H × BD.

Кут AOD = α як лінійний кут даного двогранного кута. Тоді площа чотирикутника ABCD

Звідки знайдемо

Визначаємо шуканий об'єм:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить трикутник з кутами α і β. Діагональ бічної грані, ще містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює d й утворює з площиною основи кут γ. Знайти об'єм призми.

Нехай в основі прямої призми АВСА₁В₁С₁ лежить трикутник АВС, у якому ∠ А = α, ∠ В = β.

Тоді заданою є діагональ грані АА₁В₁В, А₁В = d. Оскільки ребро АА₁ перпендикулярне до площини АВС, то проекцію діагоналі А₁В на цю площину є сторона АВ трикутника АВС. Тому за умовою задачі ∠ А₁ВА = γ.

Об'єм призми

V = S × h.

З ∆A₁BA (∠A = 90°)
h = AA₁ = d sin γ,
AB = cos γ.

За теоремою синусів для трикутника АВС маємо:

Тоді:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних граней, що мають спільну вершину, дорівнюють l і утворюють між собою кут α. Площина, що проходить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть об'єм призми.

Нехай і основі прямої призми АВСА₁В₁С₁ лежить рівнобедрений трикутник АВС (АВ = ВС).

Бічними гранями прямої призми є прямокутники. Оскільки

АВ = ВС,

то прямокутники

АА₁В₁В і СС₁В₁В

рівні, а тому мають рівні діагоналі. Проведемо діагоналі АВ₁ і СВ₁. За умовою,

АВ₁ = СВ₁= l і ∠ АВ₁С = α.

З точки В₁ проведемо перпендикуляр В₁N до сторони АС. Тоді за теоремою про три перпендикуляри ВN ⊥ АС. Тому ∠ В₁NВ є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами АВ₁С та АВС, і, згідно з умовою задачі, ∠ В₁NВ = β.

Об'єм призми знайдемо за формулою:

V = S_осн × H.

Висота В₁N рівнобедреного трикутника АВ₁С є його бісектрисою і медіаною.

Тому ∠ АВ₁N = ^α/₂ і АN = NС.

З ∆ АВ₁N (∠ N = 90°),

В₁N = АВ₁ cos ∠ АВ₁N = l cos ^α/₂,

АN = l sin ^α/₂.

З ∆ NВ₁B (∠ B = 90°),

H = B₁B = B₁N× sin β

= l cos ^α/₂×sin β,

BN = l cos ^α/₂×cos β.

Тоді:

S_осн = ¹/₂×AC×BN = AN×BN =

l sin ^α/₂×l cos ^α/₂×cos β =

¹/₂ l² sin α×cos β.

V = ¹/₂ l²×sin α cos β×l cos ^α/₂×sin β

= ¹/₄l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ВІДПОВІДЬ:

¹/₄l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ЗАДАЧА:

Основа прямої призми – ромб зі стороною а і тупим кутом α. Через більшу діагональ нижньої основи і вершину тупого кута верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана призма.
АВСD – ромб зі стороною а,

∠ BAD = ∠ BCD = α.

Тоді ВD – більша діагональ. Трикутник ВDС₁ – заданий переріз. За властивістю діагоналей ромба СО ⊥ ВD. За теоремою про три перпендикуляри С₁О ⊥ ВD. Тоді ∠ С₁ОС – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи.

За умовою, ∠ С₁ОС = β.

З ∆ AOD (∠ O = 90º):

∠ A = ^α/₂,

OA = AD cos ∠ A = a cos ^α/₂,

OC = OA = a cos ^α/₂.

З ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = a cos ^α/₂ tg β.

V = S_осн_. ∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= a² sin α ∙ a cos ^α/₂ tg β =

= a³ sin α cos ^α/₂ tg β.

ВІДПОВІДЬ: a³ sin α cos ^α/₂ tg β

ЗАДАЧА:

Основа прямої призми – ромб з більшою діагоналлю d і гострим кутом α. Через меншу діагональ нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною основи кут γ. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана призма.
АВСD – ромб з гострим кутом ВСD,

∠ BCD = α, АС = d.

Трикутник ВС₁D – заданий переріз.

∠ ОCD = ∠ ОCВ = ^α/₂.

Оскільки СО ⊥ ВD (як діагоналі ромба), то за теоремою про три перпендикуляри ОС₁ ⊥ ВD. Тоді ∠ С₁ОC – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи. За умовою, ∠ С₁ОC = γ.

З ∆ СOD (∠ O = 90º):

OD = OC tg ∠ C = ^d/₂ tg ^α/₂,

BD = 2OD = d tg ^α/₂.

З ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = ^d/₂ tg γ.

S_ABCD = ¹/₂×AC×BD =

^= 1/₂×d×d tg ^α/₂= ¹/₂×d²×tg ^α/₂.

V = S_осн_.∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= ¹/₂×d²× tg ^α/₂× ^d/₂tg γ =
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм чотирикутної прямої призми, висота якої дорівнює h, діагоналі нахилені до площини основи під кутами α та β, а гострий кут між діагоналями основи дорівнює γ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З умови завдання маємо:

Чотирикутна призма АВСDА₁В₁С₁D₁ з висотою h. Діагоналі нахилені до площини основи під кутом α та β. Гострий кут між діагоналями основи дорівнює γ.

Потрібно знайти об’єм призми АВСDА₁В₁С₁D₁.

Оскільки висота призми дана, то рішення зводиться до пошуку площі її основи АВСD, що є опуклим чотирикутником.

Площа опуклого чотирикутника виражається через його діагоналі d₁, d₂ і кут між ними за формулою:

S = ¹/₂ d₁d₂ sin γ.

C₁C та D₁D перпендикулярні площині основи.

∠ С₁АС = α, ∠D₁DВ = β.

З трикутників АСС₁ і ВDD₁ знаходимо діагоналі основи:

d₁ = AC = h ctg α,

d₂ = BD = h ctg β.

Знайдемо площу чотирикутника АВСD, діагоналі якого АС і ВD перетинаються в точці О.
S_ABCD = ¹/₂ AC∙ BD∙ sin γ =

= ¹/₂ h²∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

V_призмы = S_ABCD∙ h =

= ¹/₂ h³∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

Завдання до уроку 2

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 4 февраля 2018 г.