Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда

пятница, 9 февраля 2018 г.

Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда

Об'єм похилого паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.

де S_осн – площа основи похилого паралелепіпеда, h – висота похилого паралелепіпеда.

ЗАДАЧА:

Основою похилого паралелепіпеда є паралелограм АВСD, у якого

АВ = 3 дм, АD = 7 дм і
ВD = 6 дм.

Діагональний переріз АА₁С₁С перпендикулярний до площини основі і його площа дорівнює 1 м². Обчислите об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай маємо похилий паралелепіпед

АВСDА₁В₁С₁D₁,

у якому площина діагонального перерізу АСС₁А₁ перпендикулярна до площини основи.

Крім того, за умовою,

АВ = 3 дм,
АD = 7 дм,
ВD = 6 дм,

За властивістю сторін і діагоналей паралелограма

AC² + BD² = 2(AB² + AD²),

звідки:

AC² = 2(9 + 49) – 36 = 80,

AC = 4√͞͞͞͞͞5 (дм).

Проведемо висоту A₁N = H паралелепіпеда (N ∈ AC) і визначимо її з паралелограма АСС₁А₁:

S_осн = 2S_∆_ABD.

Площу трикутника ABD знайдемо за формулою Герона:

p = ¹/₂(3 + 7 + 6) = 8 (дм),

Тому

S_осн = 8√͞͞͞͞͞5 (дм³).

V = S_осн × H = 8√͞͞͞͞͞5 × 5√͞͞͞͞͞5

= 200 (дм³) = 0,2 (м³).

ВІДПОВІДЬ: 0,2 м³.

ЗАДАЧА:

Площа бічної грані трикутної призми дорівнює S, а відстань від протилежного ребра до цієї грані а. Знайдіть об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай маємо похилу трикутну призму АВСА₁В₁С₁, площа її бічної грані ВСС₁В₁ дорівнює S, а

d(AA₁; (BCC₁)) = а.

Об'єм цієї призми позначимо як V. Добудуємо дану трикутну призму до паралелепіпеда АВСDА₁В₁С₁D₁.

Об'єм такого паралелепіпеда вдвічі більший за об'єм даної призми, тобто дорівнює 2V. Розглянемо як основу призми

АВСDА₁В₁С₁D₁

грань ВСС₁В₁. Тоді її об'єм дорівнює

2V = S × d(AA₁; (BCC₁)) = S × а.

ВІДПОВІДЬ: ¹/₂ S × а.

ЗАДАЧА:

Основою паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 і гострим кутом 60°. Одне з ребер паралелепіпеда складає з цією гранню кут 60° і дорівнює 5. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Об'єм паралелепіпеда знаходимо за такою формулою:

V = S_o ∙ H,

де Н – висота паралелепіпеда.

Площа ромба із заданою стороною a та кутом α, знаходимо за такою формулою:

S_o = a² ∙ sin α.

Підставляючи відомі величини, отримуємо:

S_o = a² ∙ sin α = 16∙¹/₂∙√͞͞͞͞͞3 = 8√͞͞͞͞͞3.

Кут між ребром АА₁ та гранню основи АВСD – є кут між цим ребром та проекцією ребра на площину основи, яка дорівнює АН, де Н – проекція точки А₁ на АВСD, тобто

∠ А₁АН = 60°.

У прямокутному трикутнику АА₁Н:

Завдання до уроку 6

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 9 февраля 2018 г.