Урок 10. Об'єм правильної піраміди

четверг, 15 февраля 2018 г.

Урок 10. Об'єм правильної піраміди

Об'єм правильної піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту.

де S – площа основи, а Н – висота піраміди.

Правильна чотирикутна піраміда.

V = ¹/₃a²h

Правильна трикутна піраміда.

Правильна шестикутна піраміда.

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об'єм піраміди.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай QABC – задана в умові піраміда, ∆ АВС – правильний,

ВС = 6 см,

QК – висота піраміди,

∠ QВК = 45°.

Площа основи:

де а = ВС = 6 см – сторона основи. Маємо

Оскільки К – центр трикутника, то КВ = R – радіус кола, описаного навколо основи:

В ∆ QKB (∠ K = 90°,
∠ QBK = 45°),

∠ KQB =
180° – (90° + 45°) = 45°.

Тому ∆ QKB – рівнобедрений і

QK = КВ = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

Об'єм піраміди:

ЗАДАЧА:

Через сторону основи правильної трикутної піраміді і середину висоти проведено площину, яка утворює з площиною основи кут α. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює Н.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай SABC – задана правильна піраміда,

SО – висота, де О – точка перетину медіан рівностороннього трикутника АВС, SО = Н. Площина SСО перетинає бічну грань АВS по прямій КS. Тоді К – середина сторони АВ і Р – середина висоти SО належать площині СSК. Проведемо пряму КР, яка перетинається з ребром SС у точці F. АFВ – заданий переріз. Оскільки піраміда правильна, то трикутник АFВ – рівнобедрений (АF = ВF як відповідні сторони рівних трикутників АSF і ВSF). Відрізок КО – проекція відрізка КР на площину основи. Тоді ∠ PKO – кут між площиною основи і площиною АFВ. За умовою, ∠ PKO = α.

З ∆ POK (∠ O = 90°):

KO = PO ctg ∠ K = ¹/₂ H ctg α.

З ∆ AOK (∠ K = 90°):

AK = KO ctg 30° = ¹/₂ H ctg α ∙ √͞͞͞͞͞3.

AB = 2AK = √͞͞͞͞͞3 H ctg α.

ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 10

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 15 февраля 2018 г.