Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 22 февраля 2018 г.

Урок 14. Об'єм зрізаного конуса

Об'єм зрізаного конуса дорівнює сумі об'ємів трьох конусів, які мають однакову висоту із зрізаним конусом, а основи: один – нижню основу цього конуса, другій – верхню, третій – круг, площа якого є середньою геометричною між площинами верхньої нижньої основ:
де  Н – висота зрізаного конуса, а  R  і  r – радіуси його основ

Виразимо обсяг усіченого конуса через площі основ.

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr) =

= 1/3 H (πR2 + πr2 + πRr) =

= 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2),

де  S1  і  S2 – площі основ.

ЗАДАЧА:

Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють  8 см  і  6 см, а його висота – 3 см. Знайдіть об’єм зрізаного конуса.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2).

V = 1/3 π 3(64 + 36 + √͞͞͞͞͞6436) =

= π(100 + 86) = 148π (3).

ЗАДАЧА:

Відро у формі зрізаного конуса має радіуси основ – 12 см  і  18 см, твірну  20 см. Знайдіть об’єм відра.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Проведемо  ВС = ОО1 = h. Як бачимо з малюнка  ∆ АВС – прямокутний, АВ = l = 20 см. Знайдемо  АС. Оскільки  ВОО1С – прямокутник (а у прямокутника протилежні сторони рівні, то  ВO = 1). Звідси можна стверджувати, що

AC = AO1 – BO = R – r = 18 – 12 = 6 (см).

Оскільки  ∆ АВС – прямокутний, то за теоремою Піфагора

h = OO1 = BC =
V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2).

V = 1/3 π 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144324) =

6,3π(468 + 1218) 4309,2π (3)

ВІДПОВІДЬ: 4309,2π см3

ЗАДАЧА:

Об’єм зрізаного конуса дорівнює  248π см3, його висота  8 см, а радіус однієї з основ – 4 см. Обчислити бічну поверхню зрізаного конуса.

РЕШЕНИЕ:

Накреслимо креслення.
Бічну поверхню зрізаного конуса обчислимо за формулою:

Sб = π(R1 + R2) l,

де  R1, R2 – радіуси основ, l = АВ – твірна. За відомим об’ємом зрізаного конуса

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr)

та його висотою знайдемо радіус другої основи з рівняння:

248π = 8/3 π (42 + 4R2 + R22),

R22 + 4R2 + 16 = 93,

R22 + 4R277 = 0, R2 = 7 см.

Отже,  АО = 4 см, ВО1 = 7 см, тоді провівши висоту  АК  прямокутної трапеції  АВО1О, одержимо

ВК = ВО1 – КО1 =

= ВО1 – АО = 7 – 4 = 3 (см).

За теоремою Піфагора з трикутника  АКВ (К = 90°)
Таким чином, шукана бічна поверхня зрізаного конуса

Sб = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см2).

ВІДПОВІДЬ:  11π√͞͞͞͞͞73 см2

ЗАДАЧА:

У зрізаному конусі радіуси основ і твірна відносяться як  

3 : 11 : 17

а об'єм дорівнює  815π см3. Знайти повну поверхню зрізаного конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо  

О1А = r = 3х, 
ОВ = R = 11х  і  
АВ = L = 17х.
Тоді з прямокутного трикутника  АМВ
За умовою задачі об’єм зрізаного конуса  815π, отже,
Звідси  х = 1 см, тоді  

R = 11 см, r = 3 см, L = 17 см.

Повна поверхня зрізаного конуса:

Sповн = π[(R + r)L + R2 + r2] =
π[(11 + 3)17 + 112 + 32] = 368π см2.

ВІДПОВІДЬ:

Sповн = 368π см2.   

Завдання до уроку 14
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий