Урок 14. Об'єм зрізаного конуса

Об'єм зрізаного конуса дорівнює сумі об'ємів трьох конусів, які мають однакову висоту із зрізаним конусом, а основи: один – нижню основу цього конуса, другій – верхню, третій – круг, площа якого є середньою геометричною між площинами верхньої нижньої основ:

де  Н – висота зрізаного конуса, а  R  і  r – радіуси його основ

Виразимо обсяг усіченого конуса через площі основ.

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr) =

= ¹/₃ H (πR² + πr² + πRr) =

= ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂),

де  S₁  і  S₂ – площі основ.

ЗАДАЧА:

Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють  8 см  і  6 см, а його висота – 3 см. Знайдіть об’єм зрізаного конуса.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂).

V = ¹/₃ π∙ 3(64 + 36 + √͞͞͞͞͞64∙36) =

= π(100 + 8∙6) = 148π (cм³).

ЗАДАЧА:

Відро у формі зрізаного конуса має радіуси основ – 12 см  і  18 см, твірну  20 см. Знайдіть об’єм відра.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Проведемо  ВС = ОО₁ = h. Як бачимо з малюнка  ∆ АВС – прямокутний, АВ = l = 20 см. Знайдемо  АС. Оскільки  ВОО₁С – прямокутник (а у прямокутника протилежні сторони рівні, то  ВO = RО₁). Звідси можна стверджувати, що

AC = AO₁ – BO = R – r = 18 – 12 = 6 (см).

Оскільки  ∆ АВС – прямокутний, то за теоремою Піфагора

h = OO₁ = BC =

V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂).

V = ¹/₃ π∙ 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144∙324) =

≈ 6,3π(468 + 12∙18) ≈ 4309,2π (cм³)

ВІДПОВІДЬ: 4309,2π см³

ЗАДАЧА:

Об’єм зрізаного конуса дорівнює  248π см³, його висота  8 см, а радіус однієї з основ – 4 см. Обчислити бічну поверхню зрізаного конуса.

РЕШЕНИЕ:

Накреслимо креслення.

Бічну поверхню зрізаного конуса обчислимо за формулою:

S_б = π(R₁ + R₂) l,

де  R₁, R₂ – радіуси основ, l = АВ – твірна. За відомим об’ємом зрізаного конуса

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr)

та його висотою знайдемо радіус другої основи з рівняння:

248π = ⁸/₃ π (4² + 4R₂ + R₂²),

R₂² + 4R₂ + 16 = 93,

R₂² + 4R₂ – 77 = 0, R₂ = 7 см.

Отже,  АО = 4 см, ВО₁ = 7 см, тоді провівши висоту  АК  прямокутної трапеції  АВО₁О, одержимо

ВК = ВО₁ – КО₁ =

= ВО₁ – АО = 7 – 4 = 3 (см).

За теоремою Піфагора з трикутника  АКВ (∠ К = 90°)

Таким чином, шукана бічна поверхня зрізаного конуса

S_б = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  11π√͞͞͞͞͞73 см²

ЗАДАЧА:

У зрізаному конусі радіуси основ і твірна відносяться як  

3 : 11 : 17, 

а об'єм дорівнює  815π см³. Знайти повну поверхню зрізаного конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо  

О₁А = r = 3х, 
ОВ = R = 11х  і  
АВ = L = 17х.

Тоді з прямокутного трикутника  АМВ

За умовою задачі об’єм зрізаного конуса  815π, отже,

Звідси  х = 1 см, тоді  

R = 11 см, r = 3 см, L = 17 см.

Повна поверхня зрізаного конуса:

S_повн = π[(R + r)L + R² + r²] =

π[(11 + 3)17 + 11² + 3²] = 368π см².

ВІДПОВІДЬ:

S_повн = 368π см².   

Завдання до уроку 14

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об'ємові
• Урок 2. Об'єм прямий призми
• Урок 3. Об'єм похилої призми
• Урок 4. Об'єм правильної призми
• Урок 5. Об'єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об'єм куба
• Урок 9. Об'єм піраміди
• Урок 10. Об'єм правильної піраміди
• Урок 11. Об'єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об'єм циліндра
• Урок 13. Об'єм конуса
• Урок 15. Об'єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об'єм подібних тіл