Урок 2. Об'єм прямий призми

Основні припущення про об'єми.

Об'ємом геометричного тіла називається величина частини простору, яку займає це тіло.

Прийнято розглядати об'єм як величину, яка має такі властивості:

– рівні тіла мають рівні об'єми;

– об'єм будь-якого тіла, що складається з частин, дорівнює сумі об'ємів цих частин;

– якщо з двох геометричних тіл перше повністю знаходиться в середині другого, то об'єм першого тіла не більший за об'єм другого;

 – якщо два тіла можна розмістити так, що будь-яка площина, що паралельна до якої-небудь даної площини і перетинає обидва тіла, дає в перерізі з ними рівновеликі фігури, то об'єми таких тіл однакові.

Об'єм прямий призми  V  дорівнює добутку її основи на висоту.

де  S_осн – площа основи призми, h – висота призми.

Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами  9 см  і  14 см  і кутом між ними  30°. Висота призми – 15 см. Обчислите об'єм призми.

S_осн = 9 × 14 × sin 30° = 9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

V = S_осн × Н = 63 × 15 = 945 (см³).

ВІДПОВІДЬ:

945 см³.

ЗАДАЧА:

Дано пряму чотирикутну призму  АС₁, у якої

і двогранний кут  AA₁OO₁DD₁ = α. Знайти об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Об'єм призми  V= SH, де  S – площа основи, а  Н – висота призми. За умовою задачі площа основи  S = m. Треба визначити висоту призми  OO₁ = H  (призма пряма: OO₁ ⊥ пл.  ABCD).

Діагоналі основи призми

визначаємо за даними площами діагональних перерізів 

p = H × AC, q = H × BD.

Кут  AOD = α  як лінійний кут даного двогранного кута. Тоді площа чотирикутника  ABCD

Звідки знайдемо

Визначаємо шуканий об'єм:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить трикутник з кутами  α  і  β. Діагональ бічної грані, ще містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює  d  й утворює з площиною основи кут  γ. Знайти об'єм призми.

Нехай в основі прямої призми  АВСА₁В₁С₁  лежить трикутник  АВС, у якому  ∠ А = α, ∠ В = β.

Тоді заданою є діагональ грані  АА₁В₁В,  А₁В = d. Оскільки ребро  АА₁  перпендикулярне до площини  АВС, то проекцію діагоналі  А₁В  на цю площину є сторона  АВ  трикутника  АВС. Тому за умовою задачі  ∠ А₁ВА = γ.

Об'єм призми

V = S × h.

З  ∆A₁BA (∠A = 90°) 
h = AA₁ = d sin γ, 
AB = cos γ.

За теоремою синусів для трикутника  АВС  маємо:

Тоді:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних граней, що мають спільну вершину, дорівнюють  l  і утворюють між собою кут  α. Площина, що проходить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом  β. Знайдіть об'єм призми. 

Нехай і основі прямої призми  АВСА₁В₁С₁  лежить рівнобедрений трикутник  АВС (АВ = ВС).

Бічними гранями прямої призми є прямокутники. Оскільки  

АВ = ВС, 

то прямокутники  

АА₁В₁В  і  СС₁В₁В  

рівні, а тому мають рівні діагоналі. Проведемо діагоналі  АВ₁  і  СВ₁. За умовою, 

АВ₁ = СВ₁ =  l  і  ∠ АВ₁С = α. 

З точки  В₁  проведемо перпендикуляр  В₁N  до сторони  АС. Тоді за теоремою про три перпендикуляри  ВN ⊥ АС. Тому  ∠ В₁NВ  є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами  АВ₁С  та  АВС, і, згідно з умовою задачі,  ∠ В₁NВ = β.

Об'єм призми знайдемо за формулою:

V = S_осн × H.

Висота  В₁N  рівнобедреного трикутника  АВ₁С  є його бісектрисою і медіаною.

Тому  ∠ АВ₁N = ^α/₂  і  АN = NС.

З  ∆ АВ₁N (∠ N = 90°),

В₁N = АВ₁ cos ∠ АВ₁N = l cos ^α/₂,

АN = l sin ^α/₂.

З  ∆ NВ₁B (∠ B = 90°),

H = B₁B = B₁N× sin β

= l cos ^α/₂×sin β,

BN = l cos ^α/₂×cos β.

Тоді:

S_осн = ¹/₂×AC×BN = AN×BN =

l sin ^α/₂×l cos ^α/₂×cos β =

 ¹/₂ l² sin α×cos β.

V = ¹/₂ l²×sin α cos β×l cos ^α/₂×sin β

= ¹/₄ l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ВІДПОВІДЬ:

¹/₄ l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ЗАДАЧА:

Основа прямої призми – ромб зі стороною  а  і тупим кутом  α. Через більшу діагональ нижньої основи і вершину тупого кута верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  β. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана призма.

АВСD – ромб зі стороною  а,

∠ BAD = ∠ BCD = α.

Тоді  ВD – більша діагональ. Трикутник  ВDС₁ – заданий переріз. За властивістю діагоналей ромба  СО ⊥ ВD. За теоремою про три перпендикуляри  С₁О ⊥ ВD. Тоді  ∠ С₁ОС – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи.

За умовою, ∠ С₁ОС = β.

З  ∆ AOD (∠ O = 90º):

∠ A = ^α/₂,

OA = AD cos ∠ A = a cos ^α/₂,

OC = OA = a cos ^α/₂.

З  ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = a cos ^α/₂ tg β.

V = S_осн. ∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= a² sin α ∙  a cos ^α/₂ tg β =

= a³ sin α cos ^α/₂ tg β.

ВІДПОВІДЬ:  a³ sin α cos ^α/₂ tg β

ЗАДАЧА:

Основа прямої призми – ромб з більшою діагоналлю  d  і гострим кутом  α. Через меншу діагональ нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  γ. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана призма.

АВСD – ромб з гострим кутом  ВСD,

∠ BCD = α, АС = d.

Трикутник  ВС₁D – заданий переріз.

∠ ОCD = ∠ ОCВ = ^α/₂.

Оскільки  СО ⊥ ВD  (як діагоналі ромба), то за теоремою про три перпендикуляри  ОС₁ ⊥ ВD. Тоді  ∠ С₁ОC – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи. За умовою, ∠ С₁ОC = γ.

З  ∆ СOD (∠ O = 90º):

OD = OC tg ∠ C = ^d/₂ tg ^α/₂,

BD = 2OD = d tg ^α/₂.

З  ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = ^d/₂ tg γ.

S_ABCD = ¹/₂×AC×BD =

^= 1/₂×d×d tg ^α/₂ = ¹/₂×d²×tg ^α/₂.

 V = S_осн.∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= ¹/₂×d²× tg ^α/₂× ^d/₂ tg γ =

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм чотирикутної прямої призми, висота якої дорівнює  h, діагоналі нахилені до площини основи під кутами  α  та  β, а гострий кут між діагоналями основи дорівнює  γ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З умови завдання маємо:

Чотирикутна призма  АВСDА₁В₁С₁D₁  з висотою  h. Діагоналі нахилені до площини основи під кутом  α  та  β. Гострий кут між діагоналями основи дорівнює  γ.

Потрібно знайти об’єм призми  АВСDА₁В₁С₁D₁.

Оскільки висота призми дана, то рішення зводиться до пошуку площі її основи  АВСD, що є опуклим чотирикутником.

Площа опуклого чотирикутника виражається через його діагоналі  d₁, d₂  і кут між ними за формулою:

S = ¹/₂ d₁d₂ sin γ.

C₁C  та  D₁D  перпендикулярні площині основи.

∠ С₁АС = α, ∠D₁DВ = β.

З трикутників  АСС₁  і  ВDD₁  знаходимо діагоналі основи:

d₁ = AC = h ctg α,

d₂ = BD = h ctg β.

Знайдемо площу чотирикутника  АВСD, діагоналі якого  АС  і  ВD  перетинаються в точці  О.

S_ABCD = ¹/₂ AC∙ BD∙ sin γ =

=  ¹/₂ h²∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

V_призмы = S_ABCD∙ h =

= ¹/₂ h³∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об’ємові
• Урок 3. Об’єм похилої призми
• Урок 4. Об’єм правильної призми
• Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об’єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об’єм подібних тіл