Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 7 февраля 2018 г.

Урок 4. Об'єм правильної призми

Об'єм правильної призми дорівнює добуткові площі його основи на висоту.
де  Sосн – площа основи правильної призми, h – висота правильної призми.
Правильна трикутна призма.
Правильна шестикутна призма.
ЗАДАЧА:

Знайти об'єм правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює  8 см, а висота – 9 см.
V = Sосн × H, S = 6 × SAOB.
AOBрівносторонній,
ВІДПОВІДЬ:  864√͞͞͞͞͞3  см3.

ЗАДАЧА:

Через сторону нижньої основи і середину протилежного бічного ребра правильної трикутної призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  45°. Площа утвореного перерізу дорівнює  16√͞͞͞͞͞6 см2. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCA1B1C1 – задана трикутна призма.
Точка  К – середина бічного ребра  СС1. ∆ КАВ – заданий переріз.

S∆КАВ = 16√͞͞͞͞͞6 см2.

Проведемо  КМ АВ. За теоремою про три перпендикуляри  СМ АВ. Тому  КМС – лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною  КАВ  і площиною основи. За умовою, КМС = 45°. У трикутнику

КМС (С = 90°),

К = М = 45°.

Тому  МС = КС. Трикутник  САВ  є проекцією трикутника  КАВ, тому

S∆ABC = S∆КАВ cos KMC =

= 16√͞͞͞͞͞6 cos 45° =

= 1/2 (16√͞͞͞͞͞6 √͞͞͞͞͞2 ) = 16√͞͞͞͞͞3  (см2).

Оскільки трикутник  АВС – рівносторонній, то

S∆ABC = 1/4 AB2√͞͞͞͞͞3.

1/4 AB2√͞͞͞͞͞3  = 16√͞͞͞͞͞3, AB2 = 64,

AB = 8 см, MB = 4 см.

З  ∆ CМB (M = 90°):

CM = МB tg 60° = 4√͞͞͞͞͞3 (см),

KC = CM = 4√͞͞͞͞͞3 см,

CC1 = 2KC = 8√͞͞͞͞͞3 см.

Vпр. = Sосн.  H = S∆АВС C1C =

= 16√͞͞͞͞͞3 8√͞͞͞͞͞3 = 384 (см3).

ВІДПОВІДЬ:  384 см3

ЗАДАЧА:

Через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи правильної трикутної призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  60°. Площа утвореного перерізу дорівнює  8√͞͞͞͞͞3 см2. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай основою правильної призми  ABCA1B1C1  є рівносторонній трикутник  АВС.
∆ АВС1 – заданий переріз. S∆АВС1= 8√͞͞͞͞͞3 см2. Проведемо  С1М АВ. За теоремою про три перпендикуляри  CM АВ. Тому  С1МС – лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною  АВС1  і площиною основи. За умовою, С1МС = 60°. Трикутник  АВС  є проекцією трикутника  АВС1, тому

S∆АВС = S∆АВС1 cos С1МС.

S∆АВС = 8√͞͞͞͞͞3  cos 60° =

1/2 8√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3  (см2).

S∆АВС = 1/4 AB2√͞͞͞͞͞3 .

1/4 AB2√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3,

AB2 = 16, AB = 4 (см).

S∆АВС = 1/2 AB MC,

4√͞͞͞͞͞3  = 1/2 4 MC,

MC = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

З  ∆ C1CM (C = 90°):

C1C = МC tg C1MC =

= 2√͞͞͞͞͞3  tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 √͞͞͞͞͞3 = 6 (см),

Vпр. = Sосн.  H =

= 4√͞͞͞͞͞3 6 = 24√͞͞͞͞͞3 (см3).

ВІДПОВІДЬ:  24√͞͞͞͞͞3  см3

ЗАДАЧА:

У прямокутній трикутній призмі всі бічні грані є квадратами зі стороною  10√͞͞͞͞͞3. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
У квадрата всі сторони рівні, тому в підставах призми лежать рівносторонні трикутники зі сторонами рівними  10√͞͞͞͞͞3.
Площа рівностороннього трикутника знаходимо за такою формулою:
Vпризми = S Н,
Vпризми = 75√͞͞͞͞͞3 10√͞͞͞͞͞3 = 2250.

Завдання до уроку 4
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий