Урок 4. Об'єм правильної призми

Об'єм правильної призми дорівнює добуткові площі його основи на висоту.

де  S_осн – площа основи правильної призми, h – висота правильної призми.

Правильна трикутна призма.

Правильна шестикутна призма.

ЗАДАЧА:

Знайти об'єм правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює  8 см, а висота – 9 см.

V = S_осн × H, S = 6 × S_AOB.

∆ AOB – рівносторонній,

ВІДПОВІДЬ:  864√͞͞͞͞͞3  см³.

ЗАДАЧА:

Через сторону нижньої основи і середину протилежного бічного ребра правильної трикутної призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  45°. Площа утвореного перерізу дорівнює  16√͞͞͞͞͞6 см². Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCA₁B₁C₁ – задана трикутна призма.

Точка  К – середина бічного ребра  СС₁. ∆ КАВ – заданий переріз.

S_∆КАВ = 16√͞͞͞͞͞6 см².

Проведемо  КМ ⊥ АВ. За теоремою про три перпендикуляри  СМ ⊥ АВ. Тому  ∠ КМС – лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною  КАВ  і площиною основи. За умовою, ∠ КМС = 45°. У трикутнику

КМС (∠ С = 90°),

∠ К = ∠ М = 45°.

Тому  МС = КС. Трикутник  САВ  є проекцією трикутника  КАВ, тому

S_∆ABC = S_∆КАВ ∙ cos ∠ KMC =

= 16√͞͞͞͞͞6 ∙ cos 45° =

= ¹/₂ (16√͞͞͞͞͞6 ∙ √͞͞͞͞͞2 ) = 16√͞͞͞͞͞3  (см²).

Оскільки трикутник  АВС – рівносторонній, то

S_∆ABC = ¹/₄ AB²√͞͞͞͞͞3.

¹/₄ AB²√͞͞͞͞͞3  = 16√͞͞͞͞͞3, AB² = 64,

AB = 8 см, MB = 4 см.

З  ∆ CМB (∠ M = 90°):

CM = МB tg 60° = 4√͞͞͞͞͞3 (см),

KC = CM = 4√͞͞͞͞͞3 см,

CC₁ = 2KC = 8√͞͞͞͞͞3 см.

V_пр. = S_осн.∙  H = S_∆АВС ∙ C₁C =

= 16√͞͞͞͞͞3 ∙ 8√͞͞͞͞͞3 = 384 (см³).

ВІДПОВІДЬ:  384 см³

ЗАДАЧА:

Через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи правильної трикутної призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  60°. Площа утвореного перерізу дорівнює  8√͞͞͞͞͞3 см². Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай основою правильної призми  ABCA₁B₁C₁  є рівносторонній трикутник  АВС.

∆ АВС₁ – заданий переріз. S_∆АВС1= 8√͞͞͞͞͞3 см². Проведемо  С₁М ⊥ АВ. За теоремою про три перпендикуляри  CM ⊥ АВ. Тому  С₁МС – лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною  АВС₁  і площиною основи. За умовою, ∠ С₁МС = 60°. Трикутник  АВС  є проекцією трикутника  АВС₁, тому

S_∆АВС = S_∆АВС1 ∙ cos ∠ С₁МС.

S_∆АВС = 8√͞͞͞͞͞3  ∙ cos 60° =

^= 1/₂ ∙ 8√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3  (см²).

S_∆АВС = ¹/₄ ∙ AB²√͞͞͞͞͞3 .

¹/₄ ∙ AB²√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3,

AB² = 16, AB = 4 (см).

S_∆АВС = ¹/₂ AB ∙ MC,

4√͞͞͞͞͞3  = ¹/₂ ∙ 4 ∙ MC,

MC = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

З  ∆ C₁CM (∠ C = 90°):

C₁C = МC tg ∠ C₁MC =

= 2√͞͞͞͞͞3  tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 ∙√͞͞͞͞͞3 = 6 (см),

V_пр. = S_осн.∙  H =

= 4√͞͞͞͞͞3 ∙ 6 = 24√͞͞͞͞͞3 (см³).

ВІДПОВІДЬ:  24√͞͞͞͞͞3  см³

ЗАДАЧА:

У прямокутній трикутній призмі всі бічні грані є квадратами зі стороною  10√͞͞͞͞͞3. Знайдіть об’єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

У квадрата всі сторони рівні, тому в підставах призми лежать рівносторонні трикутники зі сторонами рівними  10√͞͞͞͞͞3.
Площа рівностороннього трикутника знаходимо за такою формулою:

V_призми = S ∙ Н,
V_призми = 75√͞͞͞͞͞3 ∙ 10√͞͞͞͞͞3 = 2250.

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об'ємові
• Урок 2. Об'єм прямий призми
• Урок 3. Об'єм похилої призми
• Урок 5. Об'єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об’єм подібних тіл