Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 13. Вращение твёрдого тела

ВИДЕО УРОК

До сих пор мы изучали поступательное движение тел. При таком движении все точки тела движутся одинаково. Одинаковы их перемещения за любой промежуток времени, одинаковы их скорости и ускорения в любой момент времени. И когда разговор шёл о движении тела, будь то прямолинейное, криволинейное движение или движение по окружности, мы в действительности имели в виду движение какой-то одной его точки. Вот почему мы нигде не интересовались ни размерами тела, ни его формой, ни какими-нибудь другими его свойствами.

Но кроме поступательного движения, тело (но не точка!) может совершать ещё один вид движения. Это вращение вокруг некоторой оси.

ПРИМЕР:

Когда по дороге движется автомобиль, то он движется поступательно. Но колёса автомобиля, кроме того, что они вместе со всем автомобилем движутся поступательно, ещё и вращаются.

Вращательное движение совершают маховые колёса машин, крылья ветряной мельницы, винты кораблей, самолётов, вертолётов и т. д.

Резец токарного станка движется поступательно, а обрабатываемая деталь вращается.

Примером вращательного движения тела в природе является суточное вращение Земли вокруг своей оси. Это движение Земли вызывает смену дня и ночи. Различные виды движения тел можно наблюдать во время работы швейной машины.

Рукоятка машины 1, маховое колесо 2 и вал машины 3 вращаются. Иглодержатель с иглой 4 движется вверх и вниз поступательно; челнок 5 и нитконатягиватель 6 совершает колебательные движения.

Изучение различных движений показывает, что они могут быть поступательными, вращательными или же представлять собой комбинацию поступательного и вращательного движений.

ПРИМЕР:

Движение сверла сверлильного станка при работе

Состоит из двух движений: вращательного и поступательного (сверху вниз).

Что же представляет собой этот вид движения ?

Чтобы выявить особенности вращательного движения, проделаем опыт. Возьмём картонный диск с нарисованными на нём кружочками на разных расстояниях от центра

и приведём его в быстрое вращение. Вместо кружочков мы увидим на диске ряд окружностей разных радиусов.

Вращательным движением называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

При таком движении различные точки тела за один и тот же промежуток времени проходят различные по длине пути: точки, расположенные к оси вращения, проходят меньшие пути, чем точки, более отдалённые от неё.

Как же описывать вращательное движение тела, если различные его точки движутся по-разному ?

Ясно, что для этого нужны величины, которые характеризовали бы движение всего тела, а не отдельных его точек.

Такими величинами являются – угол поворота φ и угловая скорость ω.

ПРИМЕР:

Рассмотрим какое-нибудь тело, которое может вращаться около неподвижной оси, проходящей через точку О

перпендикулярно плоскости рисунка. Она как бы <<протыкает>> страницу книги! Опустим из произвольной точки М перпендикуляр МО на ось вращения. При вращении диска точка будет перемещаться, а перпендикуляр МО – поворачиваться. Ясно, что, из какой бы точки тела мы не опустили перпендикуляр на ось вращения, угол поворота этих перпендикуляров за одно и то же время будет одним и тем же (угол φ на рисунке).

Можно поэтому считать, что угол φ – это угол поворота тела в целом.

Сказанное можно иллюстрировать следующим простым опытом. Возьмём диск, укреплённый на горизонтальной оси, и с помощью ременной передачи приведём его во вращение. Если прижать к диску в двух его точках мелки, то при повороте диска они прочертят на нём дуги. Видно, что углы поворота одинаковы независимо от того, прижмём ли мы мелки на одинаковых расстояниях от оси вращения

или на разных.

Длины же дуг во втором случае различны.

Угол поворота φ служит характеристикой движения тела при вращении. Он даёт нам как бы угловое перемещение.

Так как тело может вращаться быстро или медленно, то можно говорить о скорости вращательного движения тела. При описании вращательного движения следует пользоваться угловой скоростью, которая определяется выражением

и изменяется в радианах в секунду.

Линейная же скорость v характеризует лишь движение отдельной точки тела, а не всего тела. Если нас интересует линейная скорость движения какой-то точки тела, расположенной на расстоянии r от оси вращения, то её можно вычислить по формуле

v = ωr.

При описании вращения твёрдого тела используют также известные величины: число оборотов в единицу времени n и период вращения

Т.

Об относительности движения тела при вращении системы отсчёта.

Движения одного и того же тела относительно разных систем отсчёта, движущихся прямолинейно друг относительно друга, могут сильно различаться.

Рассмотрим движение тела относительно вращающейся системы отсчёта. Возьмём стержень, вдоль которого может скользить надетый на него шарик. Закрепим шарик на стержне и приведём стержень во вращении в горизонтальной плоскости вокруг одного из его концов.

В системе координат XOY, связанной с горизонтальной плоскостью, на которой вращается стержень, шарик движется по окружности и его скорость в любой момент времени направлена перпендикулярно стержню. В тоже время в системе координат X₁O₁Y₁, связанной с вращающимся стержнем, шарик покоится. Предоставим теперь шарику возможность скользить вдоль стержня. В тот момент, когда стержень находится в положении I

шарику сообщается скорость

перпендикулярная стержню. Так как шарик не скреплён со стержнем, то он движется в том направлении, куда направлен вектор его скорости, и через промежуток времени t, когда стержень будет находиться в положении II, шарик окажется в точке В. Его скорость

будет опять направлена перпендикулярно стержню, и поэтому ещё через время t, когда стержень окажется в положении III, шарик будет находиться в точке С и т. д. Так как гипотенуза ВО₁ больше катета АО₁ прямоугольного треугольника АВО₁, а гипотенуза СО₁ треугольника СВО₁ больше катета ВО₁ этого треугольника, то получается, что относительно неподвижной системы координат XOY шарик движется по сложной траектории, точки которой всё больше и больше удаляются от оси вращения стержня. Траектория движения шарика – это раскручивающаяся спираль. В то же время в системе координат, связанной с вращающимся стержнем, шарик будет перемещаться по прямой линии вдоль стержня. Вдоль стержня будет направлена и скорость шарика. Шарик соскальзывает с вращающегося стержня. Из рассмотренного опыта следует, что скорости и траектории тела (шарика) относительно неподвижной и вращающейся систем отсчёта различны.

Задания к уроку 13