Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 12. Рух по колу

ВИДЕО УРОК

Кут повороту і кутова швидкість.

Рух тіла по колу можна описувати тим же способом, яким користуються при описі прямолінійного руху. Але часто зручнішим виявляється інший спосіб.

ПРИКЛАД:

Уявимо собі, що деяке тіло рухається по колу радіусом r.

Проведемо з центру О коло радіус до якої-небудь точки тіла А і стежитимемо не лише за самим тілом, але і за радіусом, проведеним до нього. Ми побачимо, що, у міру того як тіло рухається, радіус обертається. Якщо, наприклад, тіло за проміжок часу t перемістилося з точки А в точку В, то за цей же час радіус обернувся на кут φ. Цей кут ми називатимемо кутом повороту радіусу. Про рух тіла можна, отже, сказати, по-перше, що тіло за проміжок часу t пройшло шлях l по дузі АВ кола, по-друге, що воно вчинило переміщення

модуль якого дорівнює довжині хорди АВ, і, по-третє, що радіус, проведений до тіла, вчинив поворот на кут φ.
Якби тіло рухалося по колу іншого радіусу R ˃ r (дивіться малюнок), то довжина пройденого шляху була б більше. Більшою була б і довжина переміщення

Кут же повороту радіусу в обох випадках залишається одними тим же.

ПРИКЛАД:

Хвилинна стрілка маленького наручного годинника за 15 мін проходить шлях завдовжки близько 1,5 см За цей же час кінець хвилинної стрілки величезного годинника веж проходить шлях завдовжки в декілька метрів. Але хвилинні стрілки усіх годинників у світі за чверть години обертаються на один і той же кут – 90⁰.

Якщо ми знову повернемося до малюнка,

те побачимо, що у тіл, що рухаються по колу з радіусами r і R, рівні не лише кути повороту. У обох випадках однакові і стосунки довжини дуги до радіусу:

По якому б колу не рухалося тіло, при рівних кутах повороту радіусу рівні і стосунки довжини дуги до радіусу.

Тому і самі кути можна вимірювати величиною цього відношення

При такому вимірі кутів за одиницю виміру кута зручно прийняти не градус, а кут, що відповідає дузі, довжина якій l дорівнює радіусу r, тому що тоді кут φ дорівнюватиме одиниці. Така одиниця виміру називається радіаном (скорочено рад.).

Радіан – це кут між двома радіусами круга, що вирізує на колі дугу, довжина якої дорівнює радіусу.

Встановимо зв'язок між градусом і радіаном.

Коли тіло (чи точка) вчинить один повний оберт по колу радіусом r, то довжина пройденої дуги дорівнюватиме 2πr. Тому величина кута в радіанах рівна:

2π рад ≈ 6,28 рад. Отже, один оборот – це поворот радіусу на кут в 2π радіан. У градусній мірі цей же кут дорівнює 360⁰. Звідси

Таким чином, довжина дуги, пройденої тілом, і кут повороту радіусу, проведеного до нього, пов'язані формулою

l = rφ.

Швидкість рівномірного руху тіла по колу теж можна виражати в кутових одиницях. Для цього використовують поняття кутової швидкості.

Під кутовою швидкістю ми розумітимемо відношення кута повороту радіусу, проведеного до тіла, до проміжку часу, в течії якого здійснений цей поворот.

Кутову швидкість означають грецькою буквою ω (омега), так що

Оскільки тут кут φ виражений в радіанах, а час t в секундах, то кутова швидкість ω вимірюється в радіанах в секунду (рад/сек). У відмінності від кутової швидкості швидкість v, вимірювану відношенням довжини шляху l до часу t і виразимо в метрах в секунду, називають лінійною швидкість. Між кутовою швидкістю ω і лінійною швидкістю v дуже простий зв'язок. Якщо у вираження для кутової швидкості підставити замість φ його значення

те ми отримаємо:

Оскільки у свою чергу l = vt, то

чи v = ωr.

Лінійна швидкість точки дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола, по якому відбувається рух.

Швидкість руху тіла по колу часто виражають також числом оборотів в одиницю часу. Легко зв'язати кутову швидкість з числом оборотів в одиницю часу. Дійсно, при одному обороті радіус обертається на кут 2π рад. Значить, вчинивши в одиницю часу, наприклад, n оборотів, радіус обернеться на кут 2πn рад. Тому кутова швидкість ω і число оборотів в одиницю часу n пов'язані вираженням

ω = 2πn.

Число оборотів в одиницю часу (n) зазвичай називають також частотою обертання. Величина, зворотна частоті, визначає час, за який тіло робить один оборот. Цей час називають періодом обертання і означають буквою Т:

Прискорення при рівномірному русі тіла по колу.

Знайдемо прискорення тіла (вважаємо його матеріальною точкою), що рухається по колу з постійної по модулю швидкості.

Прискорення, як відомо, визначається по формулі

де

– швидкість тіла в деякий початковий момент часу, а

– його швидкість через проміжок часу t. Тут модулі швидкостей

дорівнюють один одному. Припустимо, що тіло рухається по колу радіусом r і що в деякий момент часу воно знаходиться в точці А.

Чому дорівнює прискорення в цій точці ? Швидкість

у цій точці спрямована по дотичній до кола в точці А. Через t сек тіло опиняється в точці В, і швидкість його

тепер спрямована по дотичній до кола в точці В. По модулю швидкості

рівні (довжина стрілок

однакові).

Потрібно знайти прискорення в точці А кола (миттєве прискорення). Тому точки А і В, через які послідовно проходить тіло, що рухається, потрібно узяти настільки близькими один до одного, щоб дуга АВ як би стягнулася в точку.

Визначимо спочатку, як спрямовано це прискорення.

Проведемо з центру О коло радіуси до точок А і В. Радіус кола перпендикулярний до дотичної в точці дотику, отже, радіуси ОА і ОВ перпендикулярні векторам

Щоб упізнати напрям вектору прискорення, треба знайти вектор, рівний різниці векторів

Його напрям – це і є напрям вектору прискорення. Щоб знайти різницю

вектори

розташуємо так, щоб вони виходили з однієї точки, і з'єднаємо їх кінці, направивши стрільцеві від від'ємника до зменшуваного (від кінця вектору

до кінця вектора

Вектор

і є різниця векторів

Отже, уздовж вектору

спрямовано прискорення. Що можна сказати про цей напрям ? Трикутник ADC (дивіться малюнок) рівнобедрений. Кут при вершині А дорівнює куту φ між радіусами ОА і ОВ (дивіться малюнок), оскільки вони утворені взаємно перпендикулярними сторонами. Точки А і В розташовані близько один до одного, тому кут φ дуже малий (близький до нуля). Кожен з кутів при основі трикутника ADC близький до прямого, оскільки сума кутів трикутника дорівнює двом прямим. Це означає, що вектор

перпендикулярно швидкості. Але швидкість спрямована по дотичній до кола в точці А, а дотична перпендикулярна радіусу. Значить, і прискорення спрямоване по радіусу до центру кола. Його тому називають доцентровим прискоренням.

При рівномірному русі тіла по колу прискорення у будь-якій її точці перпендикулярно швидкості руху і спрямовано до центру кола.

Ця цікава особливість прискорення при русі по колу з постійною по модулю швидкістю показана на малюнку.

Знайдемо тепер модуль доцентрового прискорення. Для цього треба знайти, чому дорівнює абсолютне значення величини

З малюнка

видно, що модуль різниці векторів

дорівнює довжині відрізку CD. Оскільки кут φ дуже малий, то відрізок CD мало відрізняється від дуги CD кола (показаною пунктиром) з центром в точці А. Радіус цього кола r чисельно рівний v (r = v). Але довжина такої дуги рівна rφ = vφ. Отже,

Абсолютне значення прискорення

Рівно

Але

– це кутова швидкість ω. Тому

Абсолютне значення прискорення тіла, що рухається по колу, дорівнює твору його лінійної швидкості і кутової швидкості повороту радіусу, проведеного до тіла.

Формулу для доцентрового прискорення зручніше представити у такому вигляді, щоб в неї входила величина радіусу кола, по якому рухається тіло. Оскільки кутова і лінійна швидкості пов'язані співвідношенням v = ωr (r – радіус кола), то підставивши цей вираз у формулу

отримаємо:

Але

тому формулу для доцентрового прискорення можна записати ще і так:

При рівномірному русі по колу тіло рухається з прискоренням, яке спрямоване по радіусу до центру кола і модуль якого визначається вираженням

чи

Очевидно, вірно і зворотне: якщо лінійна швидкість тіла рівна v і прискорення тіла в усіх точках перпендикулярне вектору його швидкості і по абсолютному значенню рівно

Те можна затверджувати, що таке тіло рухається по колу, радіус якої r визначається формулою:

Значить, якщо нам відомі початкова швидкість тіла і абсолютне значення його доцентрового прискорення, ми можемо зображувати коло, по якому тіло рухатиметься, і знайде його положення у будь-який момент часу (початкове положення тіла має бути, звичайно, відомо). Тим самим буде вирішено основне завдання механіки.

Нагадаємо, що прискорення при рівномірному русі по колу нас цікавить тому, що всякий рух по криволінійній траєкторії є рухом по дугах кіл різних радіусів.

Тепер можна сказати, що при рівномірному русі у будь-якій точці криволінійної траєкторії тіло рухається з прискоренням, спрямованим до центру того кола, частиною якого є ця траєкторія поблизу цієї точки. Чисельне ж значення прискорення залежить від швидкості тіла в цій точці і від радіусу відповідного кола. На малюнку

показана деяка складна траєкторія і вказані вектори доцентрового прискорення в різних точках траєкторії.

ЗАДАЧА:

Літак, виходячи з піке, рухається по дузі, яка в нижній своїй частині є дугою кола радіусом 500 м.

Вичисліть прискорення літака в найнижчій точці, якщо його швидкість дорівнює 800 км/год, і порівняєте отримане значення з прискоренням вільного падіння.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Прискорення літака обчислюємо за формулою