Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії

Нехай вимагається знайти суму перших ста натуральних чисел. Відповідь можна отримати безпосереднім складанням чисел. Проте такий спосіб рішення дуже трудомісткий. Спробуємо знайти потрібний результат інакше.

Запишемо суму натуральних чисел від  1  до  100  двічі, розташувавши в першому випадку доданки в порядку зростання, а в другому – в 
порядку убування:

    1 +   2 +   3 + … + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … +   3 +   2 +     1.

Легко помітити, що сума пар чисел, розташованих один під одним, одна і та ж:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …

… = 98 + 3 + 99 + 2 = 100 + 1.

Кожна така пара чисел в сумі дасть  101, число пар дорівнює  100. Тому

Скористаємося аналогічним прикладом для виведення формули суми  n  перших членів арифметичної прогресії.

Позначимо суму  n  перших членів арифметичної прогресії  (a_n)  через  S_n, і випишемо цю суму двічі, помінявши в другому випадку порядок доданків на зворотний:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n,

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + … + a₃ + a₂ + a₁.

Складемо почленно цю рівність:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) + …

… + (a_n-2 + a₃) + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁).

У правій частині рівності сума кожної пари чисел рівна  

a₁ + a_n.

Дійсно,

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_n-2 = (a₂ + d) + (a_n-1 – d) = a₂ + a_n-1,

але

a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n,

отже,

a₃ + a_n-2 = a₁ + a_n

і так далі.

число таких пар рівне  n. Тому

2S_n = (a₁ + a_n)×n.

Звідси:

 Сума  n  перших членів арифметичної прогресії рівна

ПРИКЛАД:

Знайти суму перших  20  членів арифметичної прогресії  (а_n):

1;  3,5; … .

Перший член прогресії  1, різниця  2,5. Знайдемо  20-й член цієї прогресії:

а₂₀ = 1 + 2,5(20 – 1) = 
1 + 2,5 × 19 = 48,5.

Тепер можна вичислити шукану суму:

ВІДПОВІДЬ:  495

У формулі

сума  n  перших членів арифметичної прогресії виражена через перший член, n-й член і число підсумовуваних членів прогресії. Іноді зручно користуватися формулою суми  n  перших членів, представленою в іншому виді

член прогресії  a_n  вираженням

a₁ + d(n – 1).

Тоді

У цій формулі сума  n  перших членів прогресії виражена через перший член, різниця прогресії і число членів.

ПРИКЛАД:

Знайти суму всіх трицифрових чисел, кратних  4, та менших за  250.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вказані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої  a₁ = 100, різниця  d = 4. За формулою  n-го члена одержимо:

a_n = 100 + 4(n – 1) = 4n + 96.

Щоб знайти кількість членів прогресії, складемо та розв’яжемо нерівність:

4n + 96 < 250, n < 38,5.

Отже, потрібно знайти суму  38  перших членів арифметичної прогресії. Знаходимо:

ВІДПОВІДЬ:  6612

ПРИКЛАД:

Шість чисел утворюють арифметичну прогресію  (а_n). Сума перших трьох її членів дорівнює  –24, а сума трьох останніх дорівнює  12. Знайти ці числа.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Урахувавши, що

S₃ = –24, S₆= –24 + 12 = –12,

складемо і розв'яжемо систему:

–3d = –12,  d = 4.

a₁ = –8 – 4 = –12,

a₂ = –12 + 4 = –8,

a₃ = –8 + 4 = –4,

a₄ = –4 + 4 = 0,

a₅ = 0 + 4 = 4,

a₆ = 4 + 4 = 8.

ВІДПОВІДЬ:  –12;  –8;  –4;  0;  4;  8.

ПРИКЛАД:

Арифметична прогресія  (а_n)  задана формулою загального члена

а_n = 7 – 3n.

Знайдіть суму десяти перших членів прогресії.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

а_n = 7 – 3n, 
a₁ = 4,  
a₂ = 1,  
d = –3.

ВІДПОВІДЬ:  –95

ПРИКЛАД:

Чому дорівнює перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює  0,8, а сума перших десяти членів дорівнює  22 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

44 = 2a₁ + 7,2,  2a₁ = 36,8,
a₁ = 18,4.

ВІДПОВІДЬ:  18,4

ПРИКЛАД:

Обчисліть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії  (а_n), якщо  а₁₂ = 52, а різниця прогресії   d = 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а₁₂ = a₁ + 11d, 
а₁ = a₁₂ – 11d = 
52 – 55 = –3.

ВІДПОВІДЬ:  294

Завдання до уроку 6

Інші уроки:

• Урок 1. Поняття послідовності
• Урок 2. Способи завдання числової послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
• Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії