среда, 17 апреля 2019 г.

Урок 2. Способи завдання числової послідовності

Задати послідовність – значить вказати правило  f, за яким кожному натуральному числу  n  поставлено у відповідність одне і тільки одне число  un. Існує багато способів завдання послідовності. Вкажемо основні з них.

Завдання послідовності шляхом перерахування її членів в порядку зростання їх номерів.

ПРИКЛАД:

Послідовність  (an):

1;  4;  9;  16;  25;  36;  49;  64;  81;  100;

В цьому випадку використовується табличний спосіб завдання функції.
Завдання послідовності описом.

ПРИКЛАД:

Членами послідовності  (сn)  є узяті в порядку зростання прості числа, менше  20.

За допомогою цього опису легко знайти, що

с1 = 2;  с2 = 3;  с3 = 5;  с4 = 7,
с5 = 11;  с6 = 13;  с7 = 17;  с8 = 19.

Послідовність  (сn)  кінцева. Число її членів рівне  8.

За допомогою опису можна задати і нескінченну послідовність.

ПРИКЛАД:

Послідовність  (dn)  така, що кожен її член записується за допомогою цифри  2  і число цифр дорівнює номеру члена послідовності.

Цей опис дозволяє знайти будь-який член послідовності:

d1 = 2;  d2 = 22;  d3 = 222; …;  dn = 22 … 2; … ,

ПРИКЛАД:

Кожному натуральному числу  n  поставлено у відповідність число, яке зображується цифрою, що стоїть на  n-у місці після коми в записі  2/7  у вигляді десяткового дробу. 

Після перетворення  2/7  у десятковий дріб достанемо:

2/7 = 0,(285714).
u1 = 2, u2 = 8, u3 = 5, u4 = 7,
u5 = 1, u6 = 4, u7 = 2, u8 = 8, …

Завдання послідовності формулою.

Іноді послідовність можна задати формулою  (аналітично), за допомогою якої для будь-якого натурального числа  n  можна обчислити  un. Ця формула

un = f(n)

називається формулою загального числа послідовності.

Формула, що виражає кожен член послідовності через його номер  n, називається формулою  n -го члена послідовності.

ПРИКЛАД:

Завдання послідовності формулою.
Правило  f  формулюється так:

Кожному натуральному число  n  поставлено  у відповідність обернене до нього число

тобто це правило можна виразити формулою
Задана послідовність має вигляд
ПРИКЛАД:

Послідовність  (bn)  така, що для кожного номера  n  відповідає член  bn  можна знайти по формулі:

bn = n2 – n + 1.

Підставляючи у формулу замість  n  послідовно натуральні числа

1,  2,  3,  4, …,

отримаємо:

b1 = 12 – 1 + 1 = 1,
b2 = 22 – 2 + 1 = 3,
b3 = 32 – 3 + 1 = 7,
b4 = 42 – 4 + 1 = 13   и т. д.

ПРИКЛАД:

Формулою
задається нескінченна послідовність, члени якої – арифметичні квадратні корені з натуральних чисел:

 √͞͞͞͞͞1 √͞͞͞͞͞2 √͞͞͞͞͞3 √͞͞͞͞͞4 ; … .

ПРИКЛАД:

Формулою

xn = (–1)n10

задається нескінченна послідовність, усі члени якої з непарними номерами рівні  –10, а з парними рівні  10:

–10;  10;  –10;  10; … .

Комментариев нет:

Отправить комментарий