ПРИКЛАД:
Нехай
послідовність (аn)
така, що її перший член
дорівнює 5,
а кожен наступний, починаючи з другого, виходить збільшенням до попереднього
члена числа 3.
Вичислимо
декілька перших членів цієї послідовності. Оскільки
а1 = 5, то
а2 = 5 + 3 = 8,
а3 = 8 + 3 = 11,
а4 = 11 + 3 = 14,
а5 = 14 + 3 = 17,
Числова послідовність,
кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, складеному
з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.
Розглянута вище послідовність (аn) –
арифметична прогресія, оскільки при будь-кому
n ∈ N
аn+1
= аn + 3.
З визначення виходить, що в арифметичній прогресії (аn) різниця між будь-яким членом, починаючи з
другого, і йому передуванням дорівнює одному і тому ж числу:
а2 – а1
= а3 – а2 = … =
аn – аn-1 = аn+1 – аn = … .
аn – аn-1 = аn+1 – аn = … .
це число називають різницею арифметичної прогресії.
Різницю арифметичної прогресії прийнято означати буквою d.
Таким чином, арифметична прогресія (аn) визначається:
1) умовою а1
= а, де
а – деяке число;
2) рекурентною
формулою
аn+1
= аn + d.
Для того, щоб задати деяку арифметичну прогресію (аn),
досить знати її перший член а1 і різниця
d.
ПРИКЛАД:
Якщо
а1 = 1 и d = 1,
те
ми маємо прогресію
1; 2;
3; 4; … ,
членами
якої є послідовні натуральні числа.
ПРИКЛАД:
Якщо
а1 = 1 и d = 2,
те
членами відповідної прогресії
1; 3; 5; 7; 9;
… ,
служать
позитивні непарні числа, узяті в порядку зростання.
ПРИКЛАД:
Якщо
а1 = 0 и d = –2,
то
ми отримуємо прогресію
0; –2; –4; –8; … ,
члени
якої непозитивні парні числа, узяті в порядку убування.
ПРИКЛАД:
3; 7; 11; … ; 4n – 1; … – арифметична
прогресія з різницею
d = 4.
Очевидно, що арифметична прогресія, різниця якої –
позитивне число, є зростаючою послідовністю, а арифметична прогресія, різниця
якої негативне число, – убуваючою послідовністю.
Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю,
то усі її члени рівні між собою і прогресія є постійною послідовністю.
Арифметична прогресія має властивість:
Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним передуючого і подальшого членів.
Справедливо і зворотне:
Якщо деяка
послідовність така, що будь-який член її, починаючи з другого, є середнім
арифметичним передуючого і подальшого членів, то ця послідовність – арифметична
прогресія.
Потому:
Числова послідовність
є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, тоді кожен член її, починаючи з
другого, є середнє арифметичне передуючого і подальшого членів.
Властивості
членів арифметичної прогресії.
а) кожний член арифметичної прогресії дорівнює
півсумі рівновіддалених від нього членів:
a1,
a2, a3,
… , an-2,
an-1,
an,
то суми членів, рівновіддалених від кінців цієї
скінченної арифметичної прогресії, рівні між собою, тобто
ak + an-k+1 = 2a1 + d(n – 1), k =
1, 2, 3, … , n.
ПРИКЛАД:
Знайдіть
перший член арифметичної прогресії (аn), якщо
а3
+ а7 = 30,
а6
+ а16 = 60.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ: a1 = 5.
ПРИКЛАД:
Знайдіть
різницю арифметичної прогресії (аn), якщо
а5
+ а12 = 41,
а10
+ а14 = 62.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ: d = 3.Завдання до уроку 4
Інші уроки:
- Урок 1. Поняття послідовності
- Урок 2. Способи завдання числової послідовності
- Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
- Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
- Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
- Урок 7. Визначення геометричної прогресії
- Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
- Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії
Комментариев нет:
Отправить комментарий