Нехай задано множину
всіх натуральних чисел, розташованих у порядку їх зростання (натуральний ряд):
1, 2, 3, … , n, …
Якщо кожному числу n множини N (n ∈ N) за певним правилом (законом) f поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число un, тобто:
то кажуть, що задано послідовність:
u1, u2, u3 … , un, …
ПРИКЛАД:
Випишемо в порядку зростання двозначні числа, що закінчуються цифрою 5:
15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95.
Першим записано число 15, другим – число 25, третім – число 35, дев'ятим (останнім) – число 95. Кожному натуральному числу від 1 до 9 поставлена у відповідності двозначна однина що закінчується цифрою 5:
Тим самим задана функція, областю визначення якої служить множина
{1; 2; 3; …; 9},
а областю значень - множина
{15; 25; 35; …; 95}.
Позначимо цю функцію буквою g, тоді
g(1) = 15; g(2) = 25; g(3) = 35; …; g(9) = 95.
ПРИКЛАД:
Розташуємо в порядку убування правильні дроби з чисельником, рівним 1:
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; … .
Ми виписали лише перші п'ять таких дробів. Очевидно, що на шостому місці повинен стояти дріб 1/7, на сьомому – дріб 1/8, на тридцятому – дріб 1/31, на сотому – дріб 1/100. Взагалі, для будь-якого натурального числа n можна вказати дріб, що відповідає йому, причому цей дріб буде єдиним.
Таким
чином, і в даному випадку задана функція. Областю визначення цієї функції
служить безліч N
натуральних чисел, а областю значень – безліч правильних дробів з
чисельником, рівним 1. Позначимо розглянуту функцію
буквою h,
тоді
h(1) = 1/2; h(2) = 1/3; h(3) = 1/4; …;
h(30)
= 1/31; …; h(100) = 1/101;
… .
Функція, область визначення якої – безліч натуральних чисел або безліч перших n натуральних чисел, називається послідовністю.
Якщо послідовність визначена на безлічі усіх натуральних чисел, то таку послідовність називають нескінченною, а якщо послідовність визначена на безлічі перших n натуральних чисел, то її називають кінцевою.
У першому з наведених
вище прикладів ми розглянули кінцеву послідовність, в другому - нескінченну (у
записі це показано за допомогою багато крапки).
Нехай деяка
функція f є послідовністю. Значення функції
f(1); f(2); f(3); …; f(n); …,
що відповідають значенням аргументу, рівним
1, 2, 3, … , n, … ,
називають першим, другим, третім, …, енним, … членами послідовності
Зазвичай члени
послідовності означають буквою з індексами. Позначимо перший член послідовності
символом а1 (читається: а перше), другий – символом а2 (а друге), третій – символом а3 (а трете), …, член з номером n – символом аn (а енне) і т. д.:
f(1) = а1; f(2) = а2; f(3) = а3; …; f(n) = аn; …,
У цьому позначенні індекс (порядковий номер члена) дорівнює значенню аргументу; символом аn позначено значення функції, що відповідає аргументу n. Саму послідовність означають так:
(аn), де n = 1, 2, 3, …
ПРИКЛАД:
Позначимо послідовність, членами якої є правильні дроби з чисельником, рівним 1, символом (аn). Тоді
а1 = 1/2; а2 = 1/3; а3 = 1/4; а30 = 1/31; а100 = 1/101.
Замість букви а можна було б узяти яку-небудь іншу букву.
Числову послідовність,
яка є зростаючою функцією, прийнято називати зростаючою послідовністю.
Розглянута в першому
прикладі послідовність двозначних чисел, що закінчуються цифрою 5, така, що більшому
номеру (більшому значенню аргументу) відповідає більший член послідовності
(більше значення функції). Значить, ця кінцева послідовність є такою, що
зростає.
Прикладом зростаючої
послідовності може служити також нескінченна послідовність парних чисел
2; 4; 6; 8; …,
У якій кожен член в 2 рази більше свого номера.
Зростає є та і тільки та послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) більший за попереднього.
ПРИКЛАД:
Аналогічно числову послідовність, яка є убиваючою функцією, прийнято називати убиваючою послідовністю.
ПРИКЛАД:
Убувають є кінцева послідовність
–2; –4; –6; –8; –10,
а також нескінченна послідовність правильних дробів з чисельником, рівним 1.
Убуває є та і тільки та послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) менший за попереднього.
Не всяка послідовність є такою, що зростає або убуває.
ПРИКЛАД:
Кінцева послідовність
8; –6; 4; –2; 0,
Нескінченна послідовність
5; 0; 5; 0; 5; 0; …,
усі члени якої з непарними номерами дорівнюють 5, а з парними – 0.
Нескінченна
послідовність
10; 10; 10; 10; …,
усі члени якої рівні 10.
Послідовність {un} називається не спадною, якщо при всіх n (n ∈ N) справедливі нерівності
un ≤ un + 1,
тобто
u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ … ≤ un ≤ … ;
Послідовність {un} називається не зростаючою, якщо при всіх n (n ∈ N) справедливі нерівності
un ≥ un + 1,
тобто
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … ≥ un ≥ … ;
Зростаючи, спадні, не зростаючі і не спадні послідовності називаються монотонними, зростаючи і спадні – строго монотонними, не зростаючі і не спадні – не строго монотонними.
Послідовність, усі члени якої рівні між собою, називається постійною послідовністю.
Стала послідовність {un = а} (всі члени її рівні між собою) однозначно є не спадною і не зростаючою, тому що
un ≤ un + 1 і un ≥ un + 1
(un = un + 1) при (n ∈ N).
Обмежені послідовності.
а) послідовність {un} називається обмеженою зверху, якщо існує таке число М, що для всіх n (n ∈ N) справедливі нерівності
un ≤ М.
Число М називається верхньою межею послідовності {un}.
ПРИКЛАД:
Послідовність
обмежена зверху. Дійсно,
Верхня межа даної послідовності
Очевидно, будь-яке число
також буде верхньою межею послідовності
Якщо послідовність обмежена зверху, то вона має безліч верхніх меж;
б) послідовність {un} називається обмеженою знизу, якщо існує таке число m, що для всіх n ∈ N справедливі нерівності
un ≤ m,
Число m називається нижньою межею послідовності {un}.
ПРИКЛАД:
Послідовність {n2} обмежена знизу.
Дійсно,
un = n2 ≥ 1 при n = 1,
2, 3, … ,
тобто нижня межа послідовності {n2} m =1. Очевидно, будь-яке число a < 1 також буде нижньою межею даної
послідовності. Якщо послідовність обмежена знизу, то вона має безліч нижніх меж;
в) послідовність {un} називається обмеженою, якщо вона обмежена знизу і зверху, тобто якщо
m ≤ un ≤ M (n ∈ N).
Часто визначення обмеженої послідовності формулюють так:
Послідовність {un} називається обмеженою, якщо існує таке додатне число М, що для всіх n ∈ N справедливі нерівності
|un| ≤ M.
Послідовність, яка не є обмеженою хоч би знизу або хоч би зверху, називається необмеженою.
Дії з послідовностями.
Сумою, різницею, добутком, часткою двох послідовностей
{un} і {vn}
Добутком послідовності {un} на стале число с називається послідовність {сun}.
ПРИКЛАД:
Числову послідовність, як і числову функцію, можна зображувати геометрично за допомогою точок координатної площини. Оскільки числова послідовність – це функція, область визначення якої служить безліч N натуральних чисел (чи безліч перших n натуральних чисел), то її графіком є безліч точок координатної площини, абсциси яких – натуральні числа 1, 2, 3, ., n ., а ординати – відповідні члени послідовності.
Для геометричного зображення послідовності
{un}, де u = f(n),
найчастіше користуються такими двома способами:
{un}, де u = f(n),
найчастіше користуються такими двома способами:
а) послідовність {un} зображають у вигляді графіка функції
y = un = f(n),
який складається з ізольованих точок
(1, u1), (2, u2), … , (n, un), …
Іноді, для наочності, ці точки послідовно з’єднують суцільними або пунктирними лініями. Цей графік називається графіком послідовності
{un}:
б) послідовність {un} зображають у вигляді відповідних точок числової осі.
ПРИКЛАД:
На малюнку зображений графік кінцевої послідовності
(1; –4), (2; –2), (3; 0), (4; 2), (5; 4).
Зауважимо, що існують послідовності, членами яких є комплексні числа, функції, фігури тощо. Далі ми будемо говорити замість <<числові послідовності>> просто <<послідовності>>, розуміючи під цим числову послідовність, членами якої є дійсні числа.
Якщо
числова послідовність в якості функції буде задана на усій безлічі натуральних чисел,
то така послідовність буде нескінченною числовою послідовністю.
Завдання до уроку 1
Інші уроки:
Завдання до уроку 1
Інші уроки:
- Урок 2. Способи завдання числової послідовності
- Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
- Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
- Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
- Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
- Урок 7. Визначення геометричної прогресії
- Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
- Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії
Комментариев нет:
Отправить комментарий