Урок 8. Преобразование фигур

ВИДЕО УРОК

Если каждую точку данной фигуры сместить каким – либо образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура образовалась преобразованием данной фигуры. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлениям о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем непрерывный процесс, то в геометрии для нас имеет значение только начальное и конечное положение фигуры. Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит различные точки в другие различные точки.

Если каждой точке фигуры  F  поставить в соответствие некоторую точку плоскости, то все соответствующие точки образуют некоторую фигуру  F₁. Говорят, что фигуру  F₁  получили в результате преобразования фигуры  F. Фигуру  F₁  называют образом фигуры  F.

При преобразовании фигуры  F  в фигуру  F'  имеют место следующие свойства:

1) каждой точке фигуры  F соответствует единственная точка фигуры  F';

2) каждой точке фигуры  F'  соответствует некоторая точка фигуры  F;

3) различным точкам фигуры  F соответствуют различные точки фигуры  F';

ПРИМЕР:

Поставим в соответствие каждой точке  Х  полукруга основание перпендикуляра, опущенного из точки  Х  на диаметр – точку  Х'.

Это соответствие будет преобразованием полукруга в диаметр. Диаметр – образ полукруга.

Поставим в соответствие каждой точке круга  К  диаметрально противоположную ей точку  К'.

Это соответствие будет преобразованием окружности в окружность или окружности саму в себя. Образом окружности будет та же самая окружность.

Перемещения.

Преобразование фигуры  F, которое сохраняет расстояния между точками, называют перемещением (движением) фигуры  F.

ПРИМЕР:

Преобразованием фигуры  F  в фигуру  F' – перемещение, так как

Свойства перемещения (движения).

1. Два движения, выполненные последовательно, дают опять движение.

2. Преобразование, обратное к данному движению, тоже есть движение.

3. Вследствие перемещения точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, к тому же сохраняется порядок их взаимного расположения. На рисунке

 к тому же, если точка  С  лежит между точками  А  и  В, то точка  С'  лежит между точками  А'  и  В'.

4. В результате перемещения прямые переходят в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки. На рисунке:

Луч  АК – у луч  А'К',

5. Вследствие перемещения угол переходит в равный ему угол. На рисунке:

6. Вследствие перемещения параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Перемещение любой фигуры переводит её в равную фигуру.

Две фигуры называют равными, если существует перемещение, которое переводит одну фигуру и другую.

Симметрия.

Две точки  Х  и  Х'  называются симметричными относительно данной точки  О, если точка  О – середина отрезка  ХХ'.

Точку  О  считают симметричной самой себе и называют центром симметрии.

Чтобы построить точку  Х', симметричную точки  Х  относительно точки  О, необходимо:

1) провести луч  ОХ;

2) отложить на нем с другой стороны от точки  О  отрезок

ОХ' = ОХ.

Преобразование, при котором каждая точка  Х  фигуры  F  переходит в точку  F'  фигуры  Х', симметричную относительно данной точки  О, называют преобразованием симметрии относительно точки  О. Фигуры  F  и  F'  называют симметричными относительно точки  О.

ПРИМЕР:

На рисунке показано построение фигуры, симметричной данной относительно точки  О.

Отрезка.

 Окружности.

 Треугольника.

 Свойства центральной симметрии.

– центральная симметрия является перемещением, поэтому она обладает всеми свойствами перемещения;

– образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая, а образом прямой, не проходящей через центр симметрии, является параллельная ей прямая.

Образом произвольной точки  М(х₀; у₀)  при центральной симметрии с центром в начале координат будет точка  М₁(–х₀; –у₀).

Фигуру  F  называют центрально симметричною, если существует такая точка  В, при симметрии относительно которой фигура  F переходит в себя.

ПРИМЕР:

Примером центрально симметричной фигуры является 

Квадрат.

 Окружность.

 Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей, а круга – его центр.

Точки  Х  и  Х₁  называют симметричными относительно прямой  l, если прямая  l  является срединным перпендикуляром к отрезку  ХХ₁.

Осевой симметрией относительно прямой  l  называют преобразование, при котором каждая точка  Х  фигуры  F  переходит в точку  X₁  фигуры  F₁, симметричную относительно прямой  l. Осевая симметрия является перемещением (движением), следовательно, она имеет все свойства перемещения. Если при симметрии относительно прямой  l  фигура переходит сама в себя, то фигуру называют симметричной относительно прямой  l, а прямую  l – осью симметрии фигуры. Симметрию с осью  l  называют осевой симметрией.

ПРИМЕР:

На рисунках показано построение фигур, симметричных данной относительно прямой  l.

Отрезка.

 Окружности.

 Треугольника.

Точки, симметричные относительно оси  х, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Точки, симметричные относительно оси  у, имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы.

Поворот.

Поворотом плоскости вокруг данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Поворотом фигуры  F  вокруг точки  О  на угол по часовой стрелке (против часовой стрелки) называют преобразование фигуры  F  в фигуру  F', при котором каждой точке  Х  фигуры  F  ставится в соответствие такая точка  Х₁  фигуры  F₁, то есть

ОХ' = ОХ,

∠ ХОХ' = α.

Точку  О  называют центром поворота, а угол  α – углом поворота.

Центр поворота переходит в себя. Поворот является перемещением (движением).

Поворот задается:

– центром поворота;

– углом поворота;

 – направлением поворота.

Чтобы построить точку  Х', в которую перейдет точка  Х  вследствие поворота вокруг точки  О  на угол  α, нужно:

1) провести луч  ОХ;

2) от луча  ОХ  отложить угол  ХОА  равным углу  α. На рисунке – против часовой стрелки,
а на рисунке

 – против часовой стрелки,
а на рисунке

 – по часовой стрелке;

3) на луче  ОА  найти точку  Х', которая находится на расстоянии  ОХ от центра поворота  А.

Последовательное выполнение двух поворотов вокруг одной и той же точки являются поворотом.

Чтобы выполнить поворот фигуры  F  вокруг точки  О  на угол  α, нужно каждую точку  Х  фигуры  F  сместить по дуге окружности с центром  О  радиуса  ОХ  на угол  α.

Параллельное перенесение.

Наглядно параллельное перенесение означают как превращение, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое определение имеет тот недостаток, что в нем употребляется высказывание  ''в одном и том же направлении'', которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному перенесению мы дадим другое определение, которое отвечает тому же наглядному представлению, но уже строгое. Параллельное перенесение можно задать парой точек, указав, какая из точек переходит в которую. Параллельное перенесение можно задать формулами.

Введем на плоскости Декартовые координаты  х, у.

Превращение фигуры  F, при котором произвольная ее точка  (х; у)   переходит в точку 

(х + а; у + b),

где  а  и  b  одни и те же для всех точек  (х; у), называется параллельным перенесением.

В прямоугольной системе координат параллельное перенесение, которое переводить точку  Х(х; у)  в точку  Х'(х'; у'), задаётся формулами:

х' = х + а;

у' = у + b,

где  а  и  b – координаты вектора переносу.

Эти формулы выражают координаты  х_1,  у₁  точки, в которую переходит точка  (х; у)  при параллельном перенесении.

Параллельное перенесение есть движение.

Параллельным перенесением фигуры   F  называют такое превращение фигуры  F  в фигуру  F', при котором все точки фигуры  F  смещаются на один и тот же вектор (в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние).

По-другому говорят, что все точки фигуры смещаются вдоль параллельных прямых или прямых, которые сбегаются в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние.

На рисунке

Х Х' ∥ AA' ∥ CC' ∥ NN',

Х Х' = AA' = CC' = NN'.

Каждую точку фигуры  F  сместили в одном и том же направлении на одно и то же расстояние:

Следовательно, фигура  F  перейдет в фигуру  F'  вследствие параллельного перенесения на вектор

Свойства:

– параллельное перенесение является перемещением, потому имеет все его свойства;

– при параллельном перенесении точки смещаются вдоль параллельных прямых (или прямых, которые сбегаются) на одно и то же расстояние;

– при параллельном перенесении прямая переходите в параллельную ей прямую или в себя, какие бы не были две точки  А и  А₁, существует одно и до того единственное параллельное перенесение, при котором точка  А  переходит в точку  А₁;

– перемещение, обратное параллельному перенесению, является параллельным перенесением;

– последовательное выполнение двух параллельных перенесений является параллельным перенесением;

– две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена из полупрямой, дополняющей вторую;

– две полупрямые называются одинаково направленными или зрел направленными, если они совмещаются параллельным перенесением.

То есть существует параллельное перенесение, которое переводит одну пол прямую в другую. Если полупрямые  а  и  b  одинаково направлены и полупрямые  b  и  с  одинаково направлены, то полупрямые  а  и  с  также одинаково направлены.

Чтобы построить точку  А', в которую перейдет точка  А  при параллельном перенесении, которое переводит точку  Х  в точку  Х', необходимо:

1) провести прямую  ХХ':

2) через точку  А  провести прямую

AA' ∥ ХХ';

3) на прямой  AA'   отложить отрезок   

AA' = ХХ'

так, чтобы лучи  AA' и  ХХ'  были сонаправлены. Точка  A' – искомая точка.

Равенство фигур.

Две фигуры называются равными, если они переводятся движением друг в друга. Для обозначения равенства фигур пользуются обычным знаком равенства. Запись  F  = F₁  означает, что фигура  F  равна фигуре  F₁. В записи равенства треугольников: 

∆АВС  = ∆А₁В₁С₁ 

предусматривается, что вершины, которые совмещаются во время движения, стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, которое определяется через совмещение их движением, и равенство, как мы ее понимали до сих пор, выражают одно и то же. Это значит, что когда в двух треугольниках соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И наоборот, если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равные и соответствующие углы равны.

Превращение подобия. 

Превращение фигуры  F  в фигуру  F'  называется превращением подобия, если при этом превращении расстояния между точками изменяются в одно и то же количество раз.

Превращением сходства с коэффициентом  k ˃ 0  называют превращение фигуры  F  в фигуру  F₁, при котором произвольным точкам  Х  и  Y  фигуры  F  ставят в соответствие такие точки

X₁Y₁ = kXY.

Коэффициент  k(k ˃ 0)  называют коэффициентом подобности.

Это означает, что если произвольные точки  Х  и  Y  фигуры  F  вследствие превращения подобия переходят в точки  Х'  и  Y'  фигуры  F', то

Х'Y' = k XY, где  k ˃ 0.

 Перемещение является отдельным случаем превращения подобия, если  

k = 1.

Свойства превращения подобия.

– превращение подобия переводит прямые в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки.

– превращение подобия переводит угол в равный ему угол;

– преобразование подобия переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называют подобными, если они переводятся друг в друга превращением подобия. Запись  F~ F' означает: фигура   F  подобна фигуре  F'. Иногда указывают коэффициент подобия, например, если  k = 3, пишут  F³~ F'. Коэффициент подобия  k  равняется отношению длин соответствующих линейных элементов фигур  F'  и  F.

Свойства подобных фигур.

– любая фигура подобна сама себе: F~ F;

– если  F₁~ F₂, то F₂~ F₁;

– если  F₁~ F₂, а  F₂~ F₃, то  F₁~ F₃;

– отношение площадей подобных фигур равняется квадрату коэффициента подобия, то есть если

F^k~ F₁.

Гомотетия.

Пусть дан многоугольник  ABCD.

Возьмём произвольную точку  О  и построим векторы

и так далее.

Многоугольник  A₁B₁C₁D₁  будет подобным многоугольнику  ABCD.

В этом построении использовалось требование, при котором точка  х  переходит в точку  Х₁  и что

точка  0  переходит в себя.

Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к новому виду преобразований, которое называют гомотетией.

Гомотетией с центром  О  называют превращение фигуры  F  в фигуру  F',  вследствие которого каждая точка  Х  фигуры  F  переходите в точку  Х'  фигуры  F'  так, что

Точку  О  называют центром гомотетии, а число  k – коэффициентом гомотетии. На рисунке отрезок  А₁В₁  гомотетичний отрезку  АВ  с центром гомотетии  О  и  k = 2.

Если при гомотетии фигура  Ф₁  переходит в фигуру  Ф₂, то эти фигуры называют гомотетичными.

Если  k = 1, то каждая точка  Х перейдёт сама в себя. Центр гомотетии переходит сам в себя.

Если  k ˃ 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра гомотетии. Точки  Х  и  Х₁  лежат на прямой  ОХ  по одну сторону от центра гомотетии (так как векторы

сонаправлены).

 Если  k < 0, то гомотетичные фигуры располагаются по разные стороны от центра гомотетии. Точки  Х  и  Х₁  лежат на прямой  ОХ  по разные стороны от центра гомотетии (так как векторы

противоположно направлены).

 Если  k = –1, то каждая точка  А  перейдёт сама в точку  А₁, для которой

Но такое преобразование – центральная симметрия. Значит, гомотетия с коэффициентом  –1  является центральной симметрией.

Чтобы построить фигуру  F', гомотетичну фигуру  F, нужно:

1) зафиксировать на плоскости точку  О;

2) выбрать произвольную точку  Х  фигуры  F;

3) отложить на луче  ОХ   (или на дополнительном луче) отрезок  ОХ', что равняется  |k| ∙ ОХ;

4) провести такие построения для каждой точки фигуры  F.

Получим фигуру  F', которая является образом фигуры  F, полученным в результате гомотетии.

ПРИМЕР:

На рисунку показано построение четырехугольника, гомотетичного четырехугольнику  АВСD  с центром гомотетии  О  и коэффициентом гомотетии:

а) k = 2;

б) k = –2.

Свойства гомотетии.

Гомотетия является превращением подобия, и она имеет все свойства превращения подобия.

Если при гомотетии с коэффициентом  k  точки  Х  и  Y  переходят в точки  X₁  и  Y₁, то

Отсюда вытекают следующие свойства гомотетии:

1) при гомотетии с коэффициентом  k  расстояние между точками умножается на  |k|;

2) гомотетия всякую плоскость переводит в параллельную ей плоскость;

3) гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую или в саму себя, если данная прямая проходит через центр гомотетии:

4) на координатной плоскости гомотетия с центром в начале координат задается формулами

где (х; у) – координаты точки  А, а  (х₁; у₁) – координаты образа этой точки при гомотетии;
5) Гомотетичные треугольники всегда подобны.

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Понятие вектора
• Урок 2. Координаты вектора
• Урок 3. Сложение и вычитание векторов
• Урок 4. Произведение векторов
• Урок 5. Векторы в пространстве
• Урок 6. Действия над векторами в пространстве
• Урок 7. Решение задач с помощью векторов