Урок 4. Произведение векторов

ВИДЕО УРОК

Умножение вектора на число.

В геометрии часто возникает потребность в сложении двух, трёх или более одинаковых векторов:

и так далее.

Такие суммы, как в алгебре, удобно записывать

и так далее.
Эта процедура подсказывает определение операции умножения вектора на число.
Произведение ненулевого вектора

на число  k – вектор

который сонаправлен с

если  k > 0  и противоположно направлен с

если  k < 0.
Длина вектора

равна

В результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина. 

Произведение нулевого вектора на любое число – нулевой вектор. 

Произведение вектора

на число  k  обозначают так:

Произведение числа нуль на любой вектор есть нулевой вектор.

ПРИМЕР:

На рисунке

изображены:

Основные законы умножения вектора на число.

Для операции умножения вектора на число выполняются следующие законы.

– сочетательный закон:

– первый распределительный закон:

– второй распределительный закон:

Здесь  k, l, – любые числа;

– любые векторы.

Если

Умножение вектора на число с помощью координат вектора.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, а именно, если

то есть

Или другими словами:

Координаты вектора

равняются произведению числа  k  на соответствующие координаты вектора

Векторы часто помогают изучать геометрические факты: для этого нужно научиться переводить геометрические факты на векторный язык, и наоборот, уметь векторное выражение перевести на язык геометрии.
Предположим, что нам нужно доказать, что прямые  а  и  b  параллельны.

 Рассмотрим векторы

принадлежащие соответственно прямым  а  и  b.

Векторы

могут иметь и противоположные направления.
Можно доказать, что если векторы

коллинеарны, то по определению коллинеарности векторов получим, что прямые  а  и  b  параллельны.
Вектор

коллинеарен ненулевому вектору

тогда и только тогда, когда

Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.
Другими словами, точка  Х  лежит на прямой  АВ  тогда и только тогда, когда

Скалярное произведение двух векторов.

Угол между двумя векторами с общим началом определяется, как обычный угол.

Если есть два произвольных вектора

то углом между ними называется угол между равными векторами с общим началом.

При этом рассматривают так называемый выпуклый угол (угол, имеющий меньшую величину). Иногда угол между векторами

обозначают так:

Читают: угол между векторами

равен  30°.

Углом между двумя ненулевыми векторами называют угол между соответствующими им направленными отрезками, исходящими из одной точки.

Угол между противоположно направленными векторами равен  180°, а между сонаправленными – 0°.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равняется произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если угол между векторами

равен  φ,

то их скалярное произведение

Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то скалярное произведение равно  0.
Если векторы

равны, то есть

то пишут

и говорят о скалярном квадрате вектора.

В этом случае  cos φ = 1, то есть

Итак, скалярный квадрат вектора совпадает с квадратом его длины:

Если

и при этом, если

то следует, что

Скалярное умножение связано со сложением векторов (распределительный закон):

Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равняется сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Обозначение таково же, как и для произведения чисел.

Если есть векторы

то

Признак перпендикулярности векторов.

Если векторы перпендикулярны,

то их скалярное произведение равняется нулю

И наоборот, если скалярное произведение отличающихся от нуля векторов равняется нулю, то векторы перпендикулярны.

ПРИМЕР:

Необходимо выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки  KL  и  MN, если 

К(3; 5), L(–2; 0),

M(8; –1), N(1; 4).

РЕШЕНИЕ:

Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости. Хотя речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:

Вычислим их скалярное произведение:

Значит, отрезки  KL  и  MN  не перпендикулярны.

ПРИМЕР:

Пусть

Найти вектор:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Пусть

Найти вектор:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найдите угол  α  между векторами:

РЕШЕНИЕ:

По определению скалярного произведения

где  α – искомый угол, a  и  b – модули векторов

соответственно.

Отсюда

В свою очередь,

тогда

Отсюда  α ≈ 173°.

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Понятие вектора
• Урок 2. Координаты вектора
• Урок 3. Сложение и вычитание векторов
• Урок 5. Векторы в пространстве
• Урок 6. Действия над векторами в пространстве
• Урок 7. Решение задач с помощью векторов
• Урок 8. Преобразование фигур