Урок 4. Добуток векторів

ВІДЕО УРОК

Множення вектору на число.

В геометрії часто виникає потреба в складанні двох, трьох або більше однакових векторів:

і так далі.
Такі суми, як в алгебрі, зручно записувати

і так далі.

Ця процедура підказує визначення операції множення вектора на число.

Добуток ненульового вектору

на число  k – вектор

який сонаправлен з

якщо  k > 0  і протилежно спрямований з

якщо  k < 0.
Довжина вектору

рівна

В результаті твору вектору на число завжди виходить векторна величина.

Добуток нульового вектору на будь-яке число – нульовий вектор.

Добуток вектору

на число  k  означають так:

Добуток числа нуль на будь-який вектор є нульовий вектор.

ПРИКЛАД:

На малюнку

зображені:

Основні властивості множення вектору на число.

Для операції множення вектора на число виконуються наступні закони.

– сполучний закон:

– перший розподільний закон:

– другий розподільний закон:

Тут  k, l, – будь-які числа;

– будь-які вектори.

Якщо

Множення вектора на число за допомогою координат вектора.

При множенні вектора на число його координати множаться на це число, а саме, якщо

тобто

Або іншими словами:

Координати вектора

дорівнюють добутку числа  k  на відповідні координати вектора

Вектори часто допомагають вивчати геометричні факти: для цього потрібно навчитися переводити геометричні факти на векторний мову, і навпаки, вміти векторне вираз перевести на мову геометрії.
Припустимо, що нам потрібно довести, що прямі а і b паралельні.

Розглянемо вектори

належать відповідно прямим  а  і  b.

Вектори

можуть мати і протилежні напрямки.
Можна довести, що якщо вектори

колінеарні, то за визначенням коллинеарности векторів отримаємо, що прямі  а  і  b  паралельні.
Вектор

коллінеарен ненульовому вектору

тоді і тільки тоді, коли

Два вектора, відкладені від однієї і тієї ж точки, лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли один з них виходить з іншого множенням на число.
Іншими словами, точка  Х  лежить на прямій  АВ  тоді і тільки тоді, коли

Скалярний добуток двох векторів.

Кут між двома векторами із загальним початком визначається, як звичайний кут.

Якщо є два довільних вектора

то кутом між ними називається кут між рівними векторами із загальним початком.

При цьому розглядають так званий опуклий кут (кут, що має меншу величину). Іноді кут між векторами

позначають так:

Читають: кут між векторами

дорівнює  30°.

Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між відповідними їм направленими відрізками, що виходять із однієї точки.

Кут між протилежно спрямованими векторами дорівнює  180°, а між сонаправленнимі – 0°.

Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо кут між векторами

дорівнює  φ,

то їх скалярний добуток

Якщо хоча б один з двох векторів нульовий, то скалярний добуток дорівнює  0.

Якщо вектори

рівні, тобто

то пишуть

і говорять про скалярнім квадраті вектора.
В цьому випадку cos φ = 1, тобто

Отже, скалярний квадрат вектора збігається з квадратом його довжини:

Якщо

і при цьому, якщо

то виходить, що

Скалярне множення пов'язано зі складанням векторів (розподільний закон):

Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів.

Позначення таке ж, як і для добутку чисел.

Якщо є вектори

то

Ознака перпендикулярності векторів.

Якщо вектори перпендикулярні,

то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

ПРИКЛАД:

Необхідно з'ясувати, чи будуть перпендикулярними відрізки  KL  і  MN, якщо 

К(3; 5), L(–2; 0),

M(8; –1), N(1; 4).

Обчислимо їх скалярний добуток:

Значить, відрізки  KL  і  MN  не перпендикулярні.

ПРИКЛАД:

Нехай

Знайти вектор:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Нехай

Знайти вектор:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайдіть кут  α  між векторами:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За визначенням скалярного добутку

де  α – шуканий кут, a  і  b – модулі векторів

відповідно.
Звідси

В свою чергу,

тоді

Звідси  α ≈ 173°.

ВІДПОВІДЬ:  α ≈ 173°

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Поняття вектора
• Урок 2. Координати вектора
• Урок 3. Складання і віднімання векторів
• Урок 5. Вектори в просторі
• Урок 6. Дії над векторами в просторі
• Урок 7. Рішення завдань за допомогою векторів
• Урок 8. Перетворення фігур