Урок 1. Числові нерівності

ВИДЕО УРОК

Порівняння натуральних чисел.

Із двох різних натуральних чисел завжди одне число є більшим, а друге меншим.

Порівняти два різних числа – це означає встановити, яке з них більше, а яке – менше.

Із двох натуральних чисел меншим є те, яке в натуральному ряду стоїть раніше, а більшим – те, яке в натуральному ряду стоїть пізніше.

ПРИКЛАД:

Число  5  менше від числа  7, а число  171  більше за число  19.

Число  0  менше від будь-якого натурального числа.

ПРИКЛАД:

0 < 12.

ПРИКЛАД:

9  більше за  4, відповідно, 4  менше від  9. Коротко записують  9 > 4  або  4 < 9. Знаки  >  і  <  означають відповідно  ≪ більше ≫  і  ≪ менше ≫.

Такі знаки називаються знаками нерівності. Запис у якому два числа сполучено знаком нерівності, називається числовою нерівністю. Числова нерівність показує результат порівняння – яке із чисел більше, а яке – менше. Запис, що містить знак ≠, не є числовою нерівністю.

Нерівністю називається з'єднання двох числових або буквених виразів одним з наступних знаків:

 а)  >  (більше);                      

 б) <  (менше); 

 в)  ≤   (менше або рівно);   

 г)  ≥   (більше або рівно).

Вираз, який стоїть ліворуч чи праворуч від знака нерівності, називається відповідно лівою чи правою частиною нерівності. Якщо обидві частини нерівності – числа, її називають числовою нерівністю. Таки нерівності бувають правильні і неправильні. Нерівність із змінними при одних значеннях змінних може бути правильною, а при інших – неправильною.

Порівнювати можна одночасно й три числа.

ПРИКЛАД:

Число  17  більше за  15, але менше від  20. Це записують так:

15 < 17 < 20.

Такий запис називають подвійною нерівністю. Часто слово подвійна опускають, подвійну нерівність називаючи нерівністю.

Натуральні числа можна порівнювати, не звертаючись до натурального ряду.

Порівняти багатоцифрові числа, які мають різну кількість цифр, легко.

Із двох натуральних чисел, які мають різну кількість цифр, більшим є те, у якого кількість цифр більша.

ПРИКЛАД:

Число

597 013 617 – дев’ятицифрове, а число

99 982 475 – восьмицифрове, тому перше число більше за друге.

Якщо два багатоцифрових числа мають однакову кількість цифр, то слід керуватися таким правилом.

Із двох натуральних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більша перша (при читанні зліва направо) з неоднакових цифр.

ПРИКЛАД:

42 567 > 37 298,

так як число  42 567  містить  4 десятка тисяч, а число  37 298  містить  3 десятка тисяч.

372 569 < 373 478,

так як в цих числах порівну сотень тисяч (по 3)  и десятків тисяч (по 7), але в числі  373 478  більше тисяч (3), ніж в числі  372 569  (2).

ПРИКЛАД:

7256 > 7249,

582 647 > 582 879.

На координатному промені точка з меншою координатою знаходиться лівіше від точки з більшою координатою.

ПРИКЛАД:

Точка  А(7)  лежить лівіше від точки  В(9), оскільки  7 < 9.

На координатному промені з двох натуральних чисел менше число розташоване лівіше від більшого.

ПРИКЛАД:

У записі числа замість кількох цифр поставили зірочки. Порівняйте ці числа.

69*  і  **43.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки перше число трицифрове, а друге – чотирицифрове, то

69* < **43.

ПРИКЛАД:

У записі числа замість кількох цифр поставили зірочки. Порівняйте ці числа.

72***  і  70***.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Цифр у цих числах порівну. Перша цифра кожного з них дорівнює  7. Другі цифри цих чисел дорівнюють відповідно  2  і  0. Оскільки  2 ˃ 0, то

72*** ˃ 70***.

ПРИКЛАД:

Яку з даних цифр 

(8; 7; 6; 9) 

можна підставити заміст зірочки в запис

1472 ˃ 14*4,

Щоб утворилася правильна нерівність ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись наступним правилом,

із двох натуральних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більша перша (при читанні зліва направо) з неоднакових цифр.

ми бачимо, що для того, щоб число справа було менше числа ліворуч, потрібно щоб замість зірочки стояла цифра менше  7. Із запропонованих цифр – це цифра  6.

ВІДПОВІДЬ:  6

ПРИКЛАД:

Порівняйте

8 км 24 м  і  8146 м.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки  8 км 24 м = 8024 м, то

8 км 24 м < 8146 м.

ПРИКЛАД:

Укажіть правильну нерівність.

6 ц < 598 кг,

7 ц 32 кг ˃ 723 кг,

2 км 85 м ˃ 2122 м,

1 км 42 м ˃ 1200 м.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Враховуючи, що  6 ц = 600 кг, очевидно, що перша нерівність неправильна.

Враховуючи, що  7 ц 32 кг = 732 кг, очевидно, що друга нерівність правильна.

Так як  2 км 85 м = 2085 м, то очевидно, що третя нерівність неправильна.

 Так як  1 км 42 м = 1042 м, то очевидно, що четверта нерівність неправильна.

Порівняння раціональних чисел.

Нерівність зі змінними при одних значеннях змінних може бути правильною, а при інших – неправильною.

Для довільних чисел  а  і  b  виконується одно і тільки одно із співвідношень:

a = b,  a < b,  a > b.

ПРИКЛАД:

Порівняємо звичайні дроби

⁵/₈  і  ⁴/₇.

Для цього приведемо їх до спільного знаменника:

⁵/₈ = ³⁵/₅₆;  ⁴/₇ = ³²/₅₆.

Оскільки  35 ˃ 32, то  ⁵/₈ ˃ ⁴/₇.

ПРИКЛАД:

Порівняємо десяткові дроби 

3,6748  і  3,675.

Цифри в розрядах одиниць, десятих і сотих співпадають, а в розряді тисячних в першому дробі записана цифра  4, а в другій – цифра  5. Оскільки  4 < 5, то

3,6748 < 3,675.

ПРИКЛАД:

Порівняємо звичайний дріб  ⁹/₂₀  і десятковий дріб  0,45. Обернувши дріб  ⁹/₂₀  у десяткову, отримаємо, що

⁹/₂₀ = 0,45.

ПРИКЛАД:

Порівняємо негативні числа  –15  і  –23. Модуль першого числа менше модуля другого. Значить, перше число більше за друге, т. е.

–15 ˃ –23.

При порівнянні чисел знаходять їх різницю і з'ясовують, чи є ця різниця позитивним числом, негативним числом або нулем. Цей спосіб порівняння чисел грунтований на наступному визначенні.

Число  а  більше числа  b, якщо різниця (а – b) – позитивне число;

Число  а  менше числа  b, якщо різниця  (а – b) – негативне число.

Якщо різниця  а – b  дорівнює нулю, то число  а  і  b  рівні.

На координатній прямій більше число зображається точкою, що лежить правіше, а менше – точкою, що лежить лівіше. Дійсно, а,  b  і  с – деякі числа. Якщо 

с < а, а < b  і  с < b,

те на координатній прямій це виглядає так:

Позначимо різницю  а – b  буквою  с. Оскільки 

а – b = с, то  а = b + с.

Якщо  с – позитивне число, то точка з координатою 

b + с 

лежить правіше за точку з координатою  b, а якщо  с – негативне число те лівіше.

Значить, якщо  a > b, то точка з координатою  а  лежить правіше за точку з координатою  b, а якщо  a < b – лівіше.

Нерівність називається тотожною, якщо воно вірне при усіх значеннях букв, що входять в нього. Вірна нерівність. що містить тільки числа, також називається тотожним.

Як і рівняння, нерівності можуть містити невідомі величини (вони зазвичай позначаються останніми буквами латинського алфавіту). Вирішити нерівність означає – визначити, в яких межах повинні полягати значення невідомих величин, щоб нерівність була вірною. Дві нерівності, що містять одні і ті ж невідомі, називаються рівносильними, якщо вони вірні при одних і тих же значеннях невідомих.

ПРИМЕР:

Яка з наведених нерівностей є неправильною ?

3210 ˃ –40425,

¹/₂ < ¹/₃,

–√͞͞͞͞͞3  ˃ –√͞͞͞͞͞5,

0,5^-2 ˃ 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перша нерівність правильна, оскільки позитивне число завжди більше за негативне.

Для того, щоб визначити правильну або неправильну другу нерівність, потрібно дробу привести до спільного знаменника.

¹/₂ = ³/₆,  ¹/₃ = ²/₆,

³/₆ ˃ ²/₆, потому

¹/₂ ˃ ¹/₃, 

Означає другу нерівність – неправильну.

Третя нерівність правильна, оскільки при порівнянні негативних чисел, більше те, у якого модуль числа менший.

Четверта нерівність теж правильна, оскільки:

0,5^-2 = (¹/₂)^-2 = 2² = 4,

а  4  більше  1.

ПРИМЕР:

Порівняйте  24 хв  і  ²/₅ год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Визначимо, скільки хвилин складає  ²/₅ години.

²/₅ час = ²/₅ ∙ 60 мин = 24 мин.

ОТВЕТ:

24 хв = ²/₅ год
Завдання до уроку 1

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність