Урок 1. Числовые неравенства

ВИДЕО УРОК

Сравнение натуральных чисел.

Из двух разных натуральных чисел всегда одно число является больше, а второе меньшим.

Сравнить два разных числа – это значит, что надо установить, какое из них больше, а какое – меньше.

Из двух натуральных чисел меньшим будет то, которое в натуральном ряду находится левее, а большим – то, которое в натуральном ряду находится правее.

ПРИМЕР:

Число  5  меньше числа  7, а число  171  больше числа  19.

Число  0  меньше любого натурального числа.

ПРИМЕР:

0 < 12.

ПРИМЕР:

9  больше  4, соответственно, 4  меньше 9. Коротко записывают 

9 > 4  или  4 < 9.

Знаки  >  и  <  значат соответственно  ≪ больше ≫  и  ≪ меньше ≫. Такие знаки называются знаками неравенства. Запись, в котором два числа соединены знаком неравенства, называется числовым неравенством. Числовое неравенство показывает результат сравнения – которое из чисел больше, а которое – меньше. Запись, которая содержит знак ≠, не является числовым неравенством.

Неравенством называется соединение двух числовых или буквенных выражений одним из следующих знаков:

 а)  >  (больше);                      

 б) <  (меньше); 

 в)  ≤  (меньше или равно);   

 г)  ≥  (больше или равно).

Выражение, которое стоит слева или справа от знака неравенства, называется соответственно левой или правой частью неравенства. Если обе части неравенства – числа, ее называют числовым неравенством. Таки неравенства бывают правильные и неправильные. 

Сравнивать можно одновременно и три числа.

ПРИМЕР:

Число  17  больше  15, но меньше  20. Это записывают так:

15 < 17 < 20.

Такую запись называют двойным неравенством. Часто слово двойное опускают, двойное неравенство называют просто неравенством.

Натуральные числа можно сравнивать, не обращаясь к натуральному ряду.

Сравнивать многоцифровые числа, которые имеют разное количество цифр, легко.

Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр, большим будет то, у которого количество цифр больше.

ПРИМЕР:

В числе

597 013 617 – находится девять цифр, а в числе

99 982 475 – восемь, поэтому первое число больше чем второе.

Если два многоцифровых числа имеют одинаковое количество цифр, то следует пользоваться следующим правилом.

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим будет то число, у которого больше первая цифра (при чтении слева направо) из двух сравниваемых цифр.

ПРИМЕР:

42 567 > 37 298,

так как число  42 567  содержит  4 десятка тысяч, а число  37 298  содержит  3 десятка тысяч.

372 569 < 373 478,

так как в этих числах поровну сотен тысяч (по 3)  и десятков тысяч (по 7), но в числе  373 478  больше тысяч (3), чем в числе  372 569  (2).

ПРИМЕР:

7256 > 7249,

582 647 > 582 879.

На координатной прямой точка с меньшей координатой находится левее от точки с большей координатой.

ПРИМЕР:

Точка  А(7)  лежит левее от точки  В(9), так как  7 < 9.

На координатном луче из двух натуральных чисел меньше то число, которое находится левее от большего.

ПРИМЕР:

В записи числа вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа.

69*  и  **43.

РЕШЕНИЕ:

Так как первое число состоит из трёх цифр, а второе – из четырёх, то

69* < **43.

ПРИМЕР:

В записи числа вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа.

72***  и  70***.

РЕШЕНИЕ:

Цифр в этих числах поровну. Первая цифра каждого из них равна  7. Вторые цифры этих чисел равны соответственно  2  и  0. Так как  2 ˃ 0, то

72*** ˃ 70***.

ПРИМЕР:

Какую из данных цифр 

(8; 7; 6; 9) 

можно поставить вместо звёздочки в следующее неравенство

1472 ˃ 14*4,

чтобы получилось правильное неравенство ?

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь следующим правилом,

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим будет то число, у которого больше первая цифра (при чтении слева направо) из двух сравниваемых цифр.

Мы видим, что для того чтобы число справа было меньше числа слева, надо чтобы вместо звёздочки стояла цифра меньше  7. Из предложенных цифр – это цифра  6.

ОТВЕТ:  6

ПРИМЕР:

Сравните

8 км 24 м  и  8146 м.

РЕШЕНИЕ:

Так как 

8 км 24 м = 8024 м, то

8 км 24 м < 8146 м.

ПРИМЕР:

Укажите правильное неравенство.

6 ц < 598 кг,

7 ц 32 кг ˃ 723 кг,

2 км 85 м ˃ 2122 м,

1 км 42 м ˃ 1200 м.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что  6 ц = 600 кг, очевидно, что первое неравенство неправильное.

Учитывая, что  7 ц 32 кг = 732 кг, очевидно, что второе неравенство правильное.

Так как  2 км 85 м = 2085 м, то очевидно, что третье неравенство неправильное.

 Так как  1 км 42 м = 1042 м, то очевидно, что третье неравенство неправильное.

Сравнение рациональных чисел.

Неравенство с переменными при одних значениях переменных может быть правильным, а при других – неправильной.

Для произвольных чисел  а  и  b  выполняется одно и только одно из соотношений:

a = b,  a < b,  a > b.

ПРИМЕР:

Сравним обыкновенные дроби

⁵/₈  и  ⁴/₇.

Для этого приведём их к общему знаменателю:

⁵/₈ = ³⁵/₅₆;  ⁴/₇ = ³²/₅₆.

Так как  35 ˃ 32, то  ⁵/₈ ˃ ⁴/₇.

ПРИМЕР:

Сравним десятичные дроби 

3,6748  и  3,675.

Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра  4, а во второй – цифра  5. Так как  4 < 5, то

3,6748 < 3,675.

ПРИМЕР:

Сравним обыкновенную дробь  ⁹/₂₀  и десятичную дробь  0,45. Обратив дробь  ⁹/₂₀  в десятичную, получим, что

⁹/₂₀ = 0,45.

ПРИМЕР:

Сравним отрицательные числа  –15  и  –23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е.

–15 ˃ –23.

При сравнении чисел находят их разность и выясняют, является ли эта разность положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении.

Число  а  больше числа  b, если разность (а – b) – положительное число;

Число  а  меньше числа  b, если разностьь  (а – b) – отрицательное число.

Если разность  а – b  равна нулю, то число  а  и  b  равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее. Действительно, пусть  а  и  b – некоторые числа. Если  

с < а, а < b  і  с < b,

то на координатной прямой это выглядит так:

Обозначим разность  а – b  буквой  с. Так как  а – b = с, то  

а = b + с. 

Если  с – положительное число, то точка с координатой  b + с  лежит правее точки с координатой  b, а если  с – отрицательное число то левее. 
Значит, если  a > b, то точка с координатой  а  лежит правее точки с координатой  b, а если  a < b – левее.

Неравенство называется тождественным, если оно верно при всех значениях входящих в него букв. Верное неравенство. содержащее только числа, также называется тождественным.
Как и уравнения, неравенства могут содержать неизвестные величины (они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита). Решить неравенство значит – определить, в каких границах должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях неизвестных.

ПРИМЕР:

Какое из неравенств будет неправильным ?

3210 ˃ –40425,

¹/₂ < ¹/₃,

–√͞͞͞͞͞3  ˃ –√͞͞͞͞͞5,

0,5^-2 ˃ 1.

РЕШЕНИЕ:

Первое неравенство правильное, так как положительное число всегда больше отрицательного.

Для того, чтобы определить правильное или неправильное второе неравенство, надо дроби привести к общему знаменателю.

¹/₂ = ³/₆,  ¹/₃ = ²/₆,

³/₆ ˃ ²/₆, поэтому

¹/₂ ˃ ¹/₃. 

Значит второе неравенство – неправильное.

Третье неравенство правильное, так как при сравнении отрицательных чисел, больше то, у которого модуль числа меньше.

Четвёртое неравенство тоже правильное, так как:

0,5^-2 = (¹/₂)^-2 = 2² = 4,

а  4  больше  1.

ПРИМЕР:

Сравните  24 мин  и  ²/₅ час.

РЕШЕНИЕ:

Определим, сколько минут составляет  ²/₅ часа.

²/₅ час = ²/₅ ∙ 60 мин = 24 мин.

ОТВЕТ:

24 мин = ²/₅ час

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность