Урок 2. Властивості числових нерівностей

ВИДЕО УРОК

Властивість антирефлексивності.

Ця властивість говорить про те, що будь-яке число  а  з нерівності

а < а  и  а ˃ а  вважається невірним.

Відомо, що для будь-кого  а  має місце бути рівність:

а – а = 0,

звідси отримуємо, що  а = а. Значить 

а < а  и  а ˃ а  невірно.

ПРИКЛАД:

3 < 3,

–4¹⁴/₁₅  ˃ –4¹⁴/₁₅

є невірними.

Властивість ассиметричности.

Якщо числа  а  і  b  такі, що:

Якщо  а > b, то  b < а. 

Якщо  а < b, то  b > а.

Дійсно, якщо різниця

а – b – позитивне число, то різниця

b – а – негативне число і навпаки.

Використовуючи визначення стосунків <<більше>>, <<менше>> обґрунтуємо, що, якщо, а < b, то  b > а. Оскільки в першій частині маємо, що  а < b, тоді  а – b  є негативним числом. А

b – а = –(а – b)

позитивне число, тому як число протилежно негативному числу  а – b. Звідси витікає, що  b > а. Аналогічним чином доводиться і то що, якщо,  а > b, то  b < а.

ПРИКЛАД:

При заданій нерівності 

5 < 11  маємо, що 

11 ˃ 5, означає і числова нерівність  

–0,27 ˃ –1,3 

можна записати у виді 

–1,3 < –0,27.

Властивість транзитивності.

Якщо  а < b  и  b < с, то  а < с.

Якщо  а > b  и  b > с, то  а > с.

Доведемо, що різниця

a – c – негативне число.

Додамо до цієї різниці числа  b  і  –b  і згрупуємо доданки:

a – c = a – c + b – b = (a – b) + (b – c).

По умові

a < b  і  b < c.

Тому доданки

a – b  и  b – c – негативні числа. Значить, і їх сума є негативним числом. Отже,

a < c.

Аналогічно доводиться, що якщо 

a ˃ b  і  b ˃ c, то  a ˃ c.

Геометрична ілюстрація властивостей дана на малюнку.

Перетворимо різницю

(a + c) – (b + c):

(a + c) – (b + c) = a – b.

По умові  a < b, тому  a – b – негативне число. Значить, і різниця

(a + c) – (b + c)

негативна, отже,

a + c < b + c.

ПРИКЛАД:

З нерівностей 

–1 < 5  і  5 < 8,

витікає, що  –1 < 8.

Аналогічним чином з нерівностей 

¹/₂ ˃ ¹/₈  и  ¹/₈ ˃ ¹/₃₂ 

витікає, що  ¹/₂ ˃ ¹/₃₂.

Нерівності, що мають в записі знаки 

≤  і  ≥,

мають наступні властивості:

– рефлексивності:

а ≤ а  і  а ≥ а  вважаються вірними нерівностями;

– антисиметричності:

коли  а ≤ b, тоді  b ≥ а, і якщо  а ≥ b, тоді  b ≤ а;

– транзитивності:

колі  а ≤ b, і  b ≤ с, тоді  а ≤ с, а також якщо  а ≥ b, і  b ≥ с, то тоді  а ≥ с.

Якщо з однієї частини вірної нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то вийде нерівність, рівносильна цій вірній нерівності.

ПРИКЛАД:

Згідно з цією властивістю наступні нерівності рівносильні.

х² + 5х < 6,

х² + 5х – 6 < 0.

Якщо  а > b, то  а + с > b + с,  або 

а – с > b – с.

Якщо  а < b, то  а + с < b + с,  або 

а – с < b – с.

Якщо до обох частин вірної нерівності додати одно і те ж число, то вийде вірна нерівність.

ПРИКЛАД:

Якщо до обох частин вірної числової нерівності  7 ˃ 3  додати число  15, то вийде вірна числова нерівність

7 + 15 ˃ 3 + 15,

що рівносильна нерівності

22 ˃ 18.

ПРИКЛАД:

Відомо, що

32 < а < 54.

Оцінити число

3а – 12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оцінимо спочатку число  3а. Оскільки  3 ˃ 0, то

3 ∙ 32 < 3а < 3 ∙ 54,

96 < 3а < 162.

Далі віднімемо від кожної частини нерівності число  12:

96 – 12 < 3а – 12 < 162 – 12

або

84 < 3а – 12 < 150.

ВІДПОВІДЬ:

84 < 3а – 12 < 150.

Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одно і те ж позитивне число, то вийде нерівність з тим же знаком, що і попереднє.

Або

Якщо обидві частини нерівності з однією змінною помножити або розділити на одно і те ж вираження, що набуває при усіх значеннях змінної позитивних значень, то вийде нерівність рівносильне цій нерівності.

Якщо  а > b, с < 0, то

ас < bс,  а : с < b : с.

Якщо  а < b, с < 0, то

ас > bс,  а : с > b : с.

Коли обидві частини нерівності помножити або розділити на одно і те ж число  з, отримаємо вірну нерівність. Якщо узяти число  з  негативним, то знак поміняється на протилежний. Інакше це виглядає так:

для  а  і  b  нерівність виконується, коли  а, b  і  с  є позитивними числами, то

ac < bc,

а якщо  с  буде негативним числом, тоді

ac ˃ bc.

Представимо різницю

ac – bc

у вигляді добутку:

ac – bc = с(a – b).

Оскільки  a < b, то  a – b – негативне число.

Якщо  с ˃ 0, то добуток  с(a – b)  негативно, і, отже, ac < bc.

Якщо  с < 0, то добуток  с(a – b)  позитивно, і, отже,  ac ˃ bc.

Оскільки ділення можна замінити множенням на число, зворотне дільникові, та аналогічна властивість справедливо і для ділення.

ПРИКЛАД:

Якщо обидві частини вірної числової нерівності 

4 < 6 

помножити на позитивне число  0,5, то отримаємо наступну числову нерівність 

4 ∙ 0,5 < 6 ∙ 0,5,

звідки

2 < 3.

ПРИКЛАД:

Нерівності

3х² + 6х < 9,

х² + 2х < 3

рівносильні, оскільки обидві частини нерівності

3х² + 6х < 9

розділили на позитивне число  3, залишивши без зміни знак початкової нерівності.

Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одно і те ж негативне число, то вийде нерівність з протилежним знаком, чим у  попереднього.

Або.

Якщо обидві частини нерівності з однією змінною помножити або розділити на одно і те ж вираження, що набуває при усіх значеннях змінної негативних значень, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність рівносильне цій нерівності.

Якщо  а > b, с < 0,  то

ас < bс,  а : с < b : с.

Якщо  а < b, с < 0,  то

ас > bс,  а : с > b : с.

При зміні знаку частин числової нерівності міняється сам знак нерівності на протилежний:

a < b,  –a ˃ –b.

це відповідає правилу множення обох частин на  –1.

ПРИКЛАД:

–6 < –2, то  6 ˃ 2.

При заміні зворотними числами частин числової нерівності на протилежний, міняється і його знак, причому нерівність залишається вірною. Звідси маємо, що  a  і  b  є позитивними числами.

Якщо  a  і  b – позитивні числа і  a < b, то

Розділимо обидві частини нерівності  a < b  позитивне число  ab:

Скоротивши дроби, отримаємо, що

тобто

ПРИКЛАД:

5 ˃ ²/₃,  ¹/₅ < ²/₃.

При негативних  a  і  b  при умові, що  a < b, нерівність

¹/_a ˃ ¹/_b  

може вийти невірним.

ПРИКЛАД:

–2 < 3, проте 

–¹/₂ ˃ ¹/₃,

є невірною нерівністю.

ПРИКЛАД:

Нерівності

–6х < 12,

х ˃ –2

рівносильні, оскільки обидві частини нерівності

–6х < 12

розділили на негативне число  –6, змінивши при цьому  знак  <  початкової нерівності на знак  ˃.

ПРИКЛАД:

Якщо обидві частини вірної числової нерівності   

–8 ≤ 12 

розділити на негативне число  –4, і змінити знак нерівності  ≤  на протилежний  ≥, те вийде вірна числова нерівність:

(–8) : (–4) ≥ 12 : (–4),

Звідки

2 ≥ –3.

ПРИКЛАД:

Відомо, що

3,7 < a < 6,8,

2,5 < b < 8,3.

Оцінити різницю

2a – 5b.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку оцінимо числа  2a  і  –5b:

3,7 ∙ 2 < 2a < 6,8 ∙ 2,

7,4 < 2a < 13,6,

і

2,5 ∙ (–5) ˃ –5b ˃ 8,3 ∙ (–5),

–41,5 < –5b < –12,5.

Тепер знайдемо суму:

2a  + (–5)b

7,4 + (–41,5) < 2a + (–5b) < 13,6 + (–12,5),

–34,1 < 2a – 5b < 1,1.

ВІДПОВІДЬ:

–34,1 < 2a – 5b < 1,1

ПРИКЛАД:

Оцінимо периметр рівностороннього трикутника із стороною  а мм, якщо відомо, що

54,2 < а < 54,3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Периметр рівностороннього трикутника із стороною  а  обчислюється за формулою

Р = 3а.

Помножимо на  3  обидві частини кожного на нерівності

54,2 < а  і  а < 54,3

і запишемо результат у вигляді подвійної нерівності:

54,2 × 3 < 3а < 54,3 × 3,

162,6 < 3а < 162,9.

Значить, периметр  Р  цього трикутника більше  162,6 мм, але менше  162,9 мм.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність