Урок 2. Свойства числовых неравенств

ВИДЕО УРОК

Свойство антирефлексивности.

Это свойство говорит о том, что любое число  а  из неравенства

а < а  и  а ˃ а  считается неверным.

Известно, что для любого  а  имеет место быть равенство 

а – а = 0,

отсюда получаем, что  а = а. Значит 

а < а  и  а ˃ а  неверно.

ПРИМЕР:

3 < 3,

–4¹⁴/₁₅  ˃ –4¹⁴/₁₅

являются неверными.

Свойство ассиметричности.

Если числа  а  и  b  такие, что: 

Если,  а > b, то  b < а; 

Если,  а < b, то  b > а.

Действительно, если разность

а – b – положительное число, то разность

b – а – отрицательное число и наоборот.

Используя определение отношений <<больше>>, <<меньше>> обоснуем, что, если, а < b, то  b > а. Так как в первой части имеем, что  а < b, тогда  а – b является отрицательным числом. А

b – а = –(а – b)

положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу  а – b. Отсюда следует, что  b > а. Аналогичным образом доказывается и то что, если,  а > b, то  b < а.

ПРИМЕР:

При заданном неравенстве 

5 < 11  имеем, что 

11 ˃ 5, значит и числовое неравенство  

–0,27 ˃ –1,3 

можно записать в виде 

–1,3 < –0,27.

Свойство транзитивности.

Если,  а < b  и  b < с, то  а < с.

Если,  а > b  и  b > с, то  а > с.

Докажем, что разность

a – c – отрицательное число.

Прибавим к этой разности числа  b  и  –b  и сгруппируем слагаемые:

a – c = a – c + b – b = (a – b) + (b – c).

По условию

a < b  и  b < c.

Поэтому слагаемые

a – b  и  b – c – отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно,

a < c.

Аналогично доказывается, что если 

a ˃ b  и  b ˃ c, то  a ˃ c.

Геометрическая иллюстрация свойств дана на рисунке. 

Преобразуем разность

(a + c) – (b + c):

(a + c) – (b + c) = a – b.

По условию  a < b, поэтому  a – b – отрицательное число. Значит, и разность

(a + c) – (b + c)

отрицательна, следовательно,

a + c < b + c.

ПРИМЕР:

Из неравенств 

–1 < 5  и  5 < 8,

следует, что  –1 < 8.

Аналогичным образом из неравенств 

¹/₂ ˃ ¹/₈  и  ¹/₈ ˃ ¹/₃₂ 

следует, что  ¹/₂ ˃ ¹/₃₂.

Неравенства, имеющие в записи знаки 

≤  и  ≥,

имеют следующие свойства:

– рефлексивности:

а ≤ а  и  а ≥ а  считаются верными неравенствами;

– антисимметричности:

когда  а ≤ b, тогда  b ≥ а, и если  а ≥ b, тогда  b ≤ а;

– транзитивности:

когда  а ≤ b, и  b ≤ с, тогда  а ≤ с, а также если  а ≥ b, и  b ≥ с, то тогда  а ≥ с.

Если из одной части верного неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному верному неравенству.

ПРИМЕР:

Согласно этому свойству следующие неравенства равносильны.

х² + 5х < 6,

х² + 5х – 6 < 0.

Если к обеим частям верного неравенства прибавить или отнять одно и то же число, то получится верное неравенство.

Если  а > b, то  а + с > b + с,  или 

а – с > b – с.

Если  а < b, то  а + с < b + с,  или 

а – с < b – с.

ПРИМЕР:

Если к обеим частям верного числового неравенства  7 ˃ 3  прибавить число  15, то получится верное числовое неравенство

7 + 15 ˃ 3 + 15,

что равносильно неравенству

22 ˃ 18.

ПРИМЕР:

Известно, что

32 < а < 54.

Оценить число

3а – 12.

РЕШЕНИЕ:

Оценим сначала число  3а. так как  3 ˃ 0, то

3 ∙ 32 < 3а < 3 ∙ 54,

96 < 3а < 162.

Далее отнимем от каждой части неравенства число  12:

96 – 12 < 3а – 12 < 162 – 12

или

84 < 3а – 12 < 150.

ОТВЕТ:

84 < 3а – 12 < 150.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство с тем же знаком, что и предыдущее, то есть равносильное данному неравенству.

Или

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство равносильное данному неравенству.

Если  а > b, с < 0,  то

ас < bс,  а : с < b : с.

Если  а < b, с < 0,  то

ас > bс,  а : с > b : с.

Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число  с, получим верное неравенство. Если взять число  с  отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так:

для  а  и  b  неравенство выполняется, когда  а, b  и  с  являются положительными числами, то

ac < bc,

а если  с  будет отрицательным числом, тогда

ac ˃ bc.

Представим разность

ac – bc

в виде произведения:

ac – bc = с(a – b).

Так как  a < b, то  a – b – отрицательное число. Если  с ˃ 0, то произведение  с(a – b)  отрицательно, и, следовательно, ac < bc. Если  с < 0, то произведение  с(a – b)  положительно, и, следовательно,  ac ˃ bc.

Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

ПРИМЕР:

Если обе части верного числового неравенства  

4 < 6 

умножить на положительное число  0,5, то получим следующее числовое неравенство 

4 ∙ 0,5 < 6 ∙ 0,5,

откуда

2 < 3.

ПРИМЕР:

Неравенства

3х² + 6х < 9,

х² + 2х < 3

равносильны, так как обе части неравенства

3х² + 6х < 9

разделили на положительное число  3, оставив без изменения знак исходного неравенства.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному неравенству.

Или:

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному неравенству.

При смене знака частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный:

a < b,  –a ˃ –b.

это соответствует правилу умножения обеих частей на  –1.

ПРИМЕР:

–6 < –2, то  6 ˃ 2.

При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причём неравенство остаётся верным. Отсюда имеем, что  a  и  b  являются положительными числами.

Если  a  и  b – положительные числа и  a < b, то

Разделим обе части неравенства  a < b  на положительное число  ab:

Сократив дроби, получим, что

т. е.

ПРИМЕР:

5 ˃ ²/₃,  ¹/₅ < ²/₃.

При отрицательных  a  и  b  с условием, что  a < b, неравенство

¹/_a ˃ ¹/_b  

может получиться неверным.

ПРИМЕР:

–2 < 3, однако  

–¹/₂ ˃ ¹/₃,

являются неверными неравенствами.

ПРИМЕР:

Неравенства

–6х < 12,

х ˃ –2

равносильны, так как обе части неравенства

–6х < 12

разделили на отрицательное число  –6, изменив при этом  знак <  исходного неравенства на знак  ˃.

ПРИМЕР:

Если обе части верного числового неравенства  

–8 ≤ 12 

разделить на отрицательное число  –4, и изменить знак неравенства  ≤  на противоположный  ≥, то получится верное числовое неравенство:

(–8) : (–4) ≥ 12 : (–4),

откуда

2 ≥ –3.

ПРИМЕР:

Известно, что

3,7 < a < 6,8,

2,5 < b < 8,3.

Оценить разность

2a – 5b.

РЕШЕНИЕ:

Сначала оценим числа  2a  и  –5b:

3,7 ∙ 2 < 2a < 6,8 ∙ 2,

7,4 < 2a < 13,6,

и

2,5 ∙ (–5) ˃ –5b ˃ 8,3 ∙ (–5),

–41,5 < –5b < –12,5.

Теперь найдём сумму:

2a  + (–5)b

7,4 + (–41,5) < 2a + (–5b) < 13,6 + (–12,5),

–34,1 < 2a – 5b < 1,1.

ОТВЕТ:

–34,1 < 2a – 5b < 1,1 

ПРИМЕР:

Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной  а мм, если известно, что

54,2 < а < 54,3.

РЕШЕНИЕ:

Периметр равностороннего треугольника со стороной  а  вычисляется по формуле

Р = 3а.

Умножим на  3  обе части каждого на неравенстве

54,2 < а  и  а < 54,3

и запишем результат в виде двойного неравенства:

54,2 × 3 < 3а < 54,3 × 3,

162,6 < 3а < 162,9.

Значит, периметр  Р  данного треугольника больше  162,6 мм, но меньше  162, 9 мм.

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность