Урок 3. Дифференцирование функции

ВИДЕО УРОК

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если предел

конечен, то функция  y = f(x)  является дифференцируемой в точке  ∆х.

Функция не дифференцируема в точках разрыва.

Во-первых, она может быть неопределенна в такой точке, следовательно, приращение  ∆х  задать невозможно.

Во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела

Из дифференцируемости функции в точке  x₀  необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.

Обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда.

ПРИМЕР:

Функция

у = |х|

В точке  х₀.

Если рассмотреть приращение  ∆х  справа, то правосторонний предел будет равен

и, соответственно, получаем касательную  у = х, совпадающую с правой частью графика

у = |х|.

Если же придать приращение аргументу  ∆х  влево, получается совсем другой результат

и, другая касательная  у = –х, которая совпадает с левой частью графика

у = |х|.

Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция

у = |х|

хоть и непрерывна в точке  х₀ = 0, но не дифференцируема в ней.

Когда предел

равен <<плюс>> или <<минус бесконечности>>, то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельна оси  ОY.

ПРИМЕР:

Касательной к графику функции

в точке  х₀ = 0  является сама ось ординат.

Если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная существуют.

ПРИМЕР:

Квадратный корень из модуля <<икс>> в точке  х₀ = 0.

Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл.

Дифференциалом функции  dy  в точке  х₀  называют главную линейную часть приращения функции  ∆у.

На чертеже дифференциал  dy  в точке  х₀  равен длине отрезка  NM.

Возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую  LN. Двигая линейку влево к точке  х₀, уменьшаем приращение  ∆x.
По рисунку хорошо видно, что с уменьшением  ∆x  уменьшается и приращение функции  ∆у = LN  (малиновые линии). При этом отрезок  LМ  занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции  ∆у = LN, а дифференциал dy = NМ – всё большую и большую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом  ∆x  дифференциал стремится к полному приращению функции

(соответственно отрезок  LМ  будет бесконечно малым).

Выведем формулу для приближённых вычислений с помощью дифференциала.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  КNM  и тангенс угла наклона касательной

Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке  х₀  корректнее через

d[f(х₀)],

и учитывая, что

tg φ = f ' (х₀),

получаем:

dy = tg φ ∙ ∆x

d[f (х₀)] = f ' (х₀) ∙ ∆x

идея формулы приближённых вычислений

 f (х₀ + ∆x) ≈ f (х₀) + d[f (х₀)]

состоит в том, чтобы точное значение

f (х₀ + ∆x)

функции (смотрите на ось ординат основного чертежа) заменить суммой  f (х₀)  и отрезка 

NM = dy = d[f (х₀)].

Отрезок  NM  на главном чертеже существенно <<не достаёт>> до полного приращения  LN.

В демонстрационной иллюстрации выбрано большое значение  ∆x, чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение  ∆x  меньше – тем дифференциал лучше <<дотянется>> до полного приращения функции (смотрите маленький рисунок), и тем точнее сработает формула:

f (х₀ + ∆x) ≈ f (х₀) + d[f (х₀)].

Предельно малое значение  ∆x  часто обозначают через  dy, поэтому формула

d[f (х₀)] = f ' (х₀) ∙ ∆x

принимает вид:

d[f (х₀)] = f ' (х₀) ∙ dx.

Тогда:

До сих пор речь шла о дифференциале в единственной точке  х₀. Но в качестве  х₀  можно взять любую точку  х  рассматриваемого интервала.
Из этих соображений в равенстве

проведём замену х₀ = х  и получим:

А это не что иное, как обозначение производной

Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – грубая ошибка. Функция и её производная –  это две разные функции.
Символ

используется двояко – и как целый символ производной, и как частное дифференциалов.

Вторая интерпретация активно используется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Что в широком смысле обозначает глагол <<дифференцировать>> ?

Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак.

Дифференцируя функцию

y = f(x),

мы << выделяем >> скорость её изменения в виде производной функции

y' = f ' (x).

ПРИМЕР:

Рассмотрим две линейные функции:

f(x) = 3х – 2,

g(x) = 20х.

Найдём их производные:

f ' (x) = (3х – 2)' = 3,

g' (x) = (20х)' = 20.

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут <<снизу вверх>>). Производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку

g' (x) ˃ f ' (x),

то функция

g(x) = 20х

растёт быстрее (причём значительно) функции

f(x) = 3х – 2,

и, соответственно, график

g(x) = 20х

намного более крут.

Касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.

Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

Таблица производных элементарных функций.

Следует обратить внимание, что производная степенной функции – это самая распространённая формула на практике. Любой радикал (корень), нужно представить в виде

для применения формулы:

(xⁿ)' = n ∙ x^n-1.

ПРИМЕР:

Правила дифференцирования и таблица производных появилась благодаря единственной формуле:

ПРИМЕР:

Найти производную функцию:

РЕШЕНИЕ: 

Находим в таблице производных элементарных функций.

Для того чтобы найти производную функцию, нужно по определённым правилам превратить её в другую функцию.

Это зафиксировано в таблице. Единственным исключением является экспоненциальная функция

которая превращается сама в себя.

Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Множитель-константу можно вынести за знак производной.

(Сu)' = С(u)'

ПРИМЕР:

Найти производную функцию:

y = 3cos x.

РЕШЕНИЕ:

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас  3cos x.

Решаем:

y' = (3cos x)'.

Выносим постоянный множитель за знак производной:

y' = (3cos x)' = 3(cos x)'.

А теперь превращаем косинус по таблице:

y' = 3(cos x)' = 3(–sin x).

Выносим знак минус за скобки и избавляемся от скобок:

y' = 3(–sin x) = –3sin x.

Правило дифференцирования суммы.

(u ± v)' = (u)' ± (v)'

Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны.

(u + С)' = u'

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

РЕШЕНИЕ:


Первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что заключается в скобки всё выражение и ставится штрих справа вверху.

Затем заключаем в скобки каждое слагаемое и ставим штрих справа вверху. Для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде

а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх

Постоянные множители (числа) выносим за знак производной

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями. С помощью таблицы осуществляем превращение.

От производных избавились, дальше упростим полученный результат.

Правило дифференцирования произведения.

(u ∙ v)' = u' ∙ v + v' ∙ u

Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(Сu)' = С ∙ u'

Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные

(u v w)' = u' vw + v' uw + w' uv

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

y = x³ arcsin x.

РЕШЕНИЕ:

Здесь произведение двух функций, зависящих от  х.

y' = (x³ arcsin x)' = (x³)' arcsin x + x³ (arcsin x)' =

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

y = (x² + 7x – 1) log₃ x.

РЕШЕНИЕ:

В данной функции содержится  сумма

x² + 7x – 1

и произведение двух функций – квадратного трёхчлена

(x² + 7x – 1)

и логарифма

log₃ x.

Сначала используем правило дифференцирования произведения.

y' = ((x² + 7x – 1) log₃ x)' =

(x² + 7x – 1)' log₃ x + (x² + 7x – 1)(log₃ x)' =

Затем используем правило дифференцирования суммы.

= ((x²)' + 7(x)'  – (1)') log₃ x + (x² + 7x – 1)(log₃ x)' =

В результате применения правил дифференцирования под штрихами остались только элементарные функции. По таблице производных превращаем их в другие функции.

ОТВЕТ:

Правило дифференцирования частного.

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную  знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в суммеи как постоянный множитель. В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных.

Если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое  u' v, в котором  u – число, например, 2  или  5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю.

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

РЕШЕНИЕ:

Выносим множитель  2  за знак производной.

Применяем правило дифференцирования частного.

Находим производные в числителе.

Упрощаем числитель.

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

РЕШЕНИЕ:

Перед тем как использовать правило дифференцирования частного, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от неё ?

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.

Теперь дифференцируем функцию

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

РЕШЕНИЕ:

Превратим дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Теперь проведём дифференцирование.

у' = (хе^х)' = (х)'е^х + х(е^х)'

= 1∙ е^х + х е^х = е^х(х + 1).

ОТВЕТ:  е^х(х + 1)

Дифференцирование сложной функции.

(u(v))' = u'(v) ∙ v'

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.

Задания к уроку 3

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Предел функции
• Урок 2. Определение производной функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 6. Определённый интеграл
• Урок 7. Применение производной при исследовании функций
• Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач