Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 15 марта 2020 г.

Урок 3. Дифференцирование функции

ВИДЕО УРОК
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если предел
конечен, то функция  y = f(x)  является дифференцируемой в точке  ∆х.
Функция не дифференцируема в точках разрыва.
Во-первых, она может быть неопределенна в такой точке, следовательно, приращение  ∆х  задать невозможно.
Во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела
Из дифференцируемости функции в точке  x0  необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.
Обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда.
ПРИМЕР:
Функция
у = |х|
В точке  х0.
Если рассмотреть приращение  х  справа, то правосторонний предел будет равен
и, соответственно, получаем касательную  у = х, совпадающую с правой частью графика
у = |х|.
Если же придать приращение аргументу  х  влево, получается совсем другой результат
и, другая касательная  у = –х, которая совпадает с левой частью графика
у = |х|.
Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция
у = |х|
хоть и непрерывна в точке  х0 = 0, но не дифференцируема в ней.
Когда предел
равен <<плюс>> или <<минус бесконечности>>, то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельна оси  ОY.
ПРИМЕР:
Касательной к графику функции
в точке  х0 = 0  является сама ось ординат.
Если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная существуют.
ПРИМЕР:
Квадратный корень из модуля <<икс>> в точке  х0 = 0.
Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл.
Дифференциалом функции  dy  в точке  х0  называют главную линейную часть приращения функции  у.
На чертеже дифференциал  dy  в точке  х0  равен длине отрезка  NM.
Возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую  LN. Двигая линейку влево к точке  х0, уменьшаем приращение  x.
По рисунку хорошо видно, что с уменьшением  x  уменьшается и приращение функции  у = LN  (малиновые линии). При этом отрезок  LМ  занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции  у = LN, а дифференциал dy = NМ – всё большую и большую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом  x  дифференциал стремится к полному приращению функции
(соответственно отрезок  LМ  будет бесконечно малым).
Выведем формулу для приближённых вычислений с помощью дифференциала.
Рассмотрим прямоугольный треугольник  КNM  и тангенс угла наклона касательной
Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке  х0  корректнее через
d[f(х0)],
и учитывая, что
tg φ = (х0),
получаем:
dy = tg φ x
d[f (х0)] = (х0) x
идея формулы приближённых вычислений
 f (х0 + ∆x) f (х0) + d[f (х0)]
состоит в том, чтобы точное значение
f (х0 + ∆x)
функции (смотрите на ось ординат основного чертежа) заменить суммой  f (х0)  и отрезка 
NM = dy = d[f (х0)].
Отрезок  NM  на главном чертеже существенно <<не достаёт>> до полного приращения  LN.
В демонстрационной иллюстрации выбрано большое значение  x, чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение  x  меньше – тем дифференциал лучше <<дотянется>> до полного приращения функции (смотрите маленький рисунок), и тем точнее сработает формула:
f (х0 + ∆x) f (х0) + d[f (х0)].
Предельно малое значение  x  часто обозначают через  dy, поэтому формула
d[f (х0)] = (х0) x
принимает вид:
d[f (х0)] = (х0) dx.
Тогда:
До сих пор речь шла о дифференциале в единственной точке  х0. Но в качестве  х0  можно взять любую точку  х  рассматриваемого интервала.
Из этих соображений в равенстве
проведём замену х0 = х  и получим:
А это не что иное, как обозначение производной
Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – грубая ошибка. Функция и её производная –  это две разные функции.
Символ
используется двояко – и как целый символ производной, и как частное дифференциалов.
Вторая интерпретация активно используется в ходе решения дифференциальных уравнений.
Что в широком смысле обозначает глагол <<дифференцировать>> ?
Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак.
Дифференцируя функцию

y = f(x),


мы << выделяем >> скорость её изменения в виде производной функции


y' = (x).


ПРИМЕР:

Рассмотрим две линейные функции:


f(x) = 3х – 2,

g(x) = 20х.


Найдём их производные:


' (x) = (3х – 2)' = 3,

g' (x) = (20х)' = 20.

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут <<снизу вверх>>). Производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку

g' (x) ˃ ' (x),

то функция

g(x) = 20х

растёт быстрее (причём значительно) функции

f(x) = 3х – 2,

и, соответственно, график

g(x) = 20х

намного более крут.
Касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.
Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
Таблица производных элементарных функций.
Следует обратить внимание, что производная степенной функции – это самая распространённая формула на практике. Любой радикал (корень), нужно представить в виде
для применения формулы:

(xn)' = n xn-1.

ПРИМЕР:
Правила дифференцирования и таблица производных появилась благодаря единственной формуле:
ПРИМЕР:

Найти производную функцию:
РЕШЕНИЕ: 

Находим в таблице производных элементарных функций.
Для того чтобы найти производную функцию, нужно по определённым правилам превратить её в другую функцию.
Это зафиксировано в таблице. Единственным исключением является экспоненциальная функция
которая превращается сама в себя.
Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Множитель-константу можно вынести за знак производной.
(Сu)' = С(u)'
ПРИМЕР:
Найти производную функцию:
y = 3cos x.
РЕШЕНИЕ:
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас  3cos x.
Решаем:
y' = (3cos x)'.
Выносим постоянный множитель за знак производной:
y' = (3cos x)' = 3(cos x)'.
А теперь превращаем косинус по таблице:
y' = 3(cos x)' = 3(–sin x).
Выносим знак минус за скобки и избавляемся от скобок:
y' = 3(–sin x) = –3sin x.
Правило дифференцирования суммы.
(u ± v)' = (u)' ± (v)'
Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны.
(u + С)' = u'
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
РЕШЕНИЕ:


Первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что заключается в скобки всё выражение и ставится штрих справа вверху.
Затем заключаем в скобки каждое слагаемое и ставим штрих справа вверху. Для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде
а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх
Постоянные множители (числа) выносим за знак производной
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями. С помощью таблицы осуществляем превращение.
От производных избавились, дальше упростим полученный результат.
Правило дифференцирования произведения.
(u v)' = u'v + v'u
Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(Сu)' = С ∙ u'
Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные
(u v w)' = u' vw + v' uw + w' uv
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
y = x3 arcsin x.
РЕШЕНИЕ:
Здесь произведение двух функций, зависящих от  х.
y' = (x3 arcsin x)' = (x3)' arcsin x + x3 (arcsin x)' =
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
y = (x2 + 7x – 1) log3 x.
РЕШЕНИЕ:
В данной функции содержится  сумма
x2 + 7x – 1
и произведение двух функций – квадратного трёхчлена
(x2 + 7x – 1)
и логарифма
log3 x.
Сначала используем правило дифференцирования произведения.
y' = ((x2 + 7x – 1) log3 x)' =
(x2 + 7x – 1)' log3 x + (x2 + 7x – 1)(log3 x)' =
Затем используем правило дифференцирования суммы.
= ((x2)' + 7(x)'  – (1)') log3 x + (x2 + 7x – 1)(log3 x)' =
В результате применения правил дифференцирования под штрихами остались только элементарные функции. По таблице производных превращаем их в другие функции.
ОТВЕТ:
Правило дифференцирования частного.
Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную  знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.
Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в суммеи как постоянный множитель. В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных.
Если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое  u' v, в котором  u – число, например, 2  или  5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю.
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
РЕШЕНИЕ:
Выносим множитель  2  за знак производной.
Применяем правило дифференцирования частного.
Находим производные в числителе.
Упрощаем числитель.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:


Найти производную функции:
РЕШЕНИЕ:
Перед тем как использовать правило дифференцирования частного, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от неё ?
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Теперь дифференцируем функцию
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Найти производную функции:
РЕШЕНИЕ:

Превратим дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
Теперь проведём дифференцирование.
у' = (хех)' = (х)'ех + х(ех)'
= 1 ех + х ех = ех(х + 1).
ОТВЕТ:  ех(х + 1)
Дифференцирование сложной функции.

(u(v))' = u'(v) ∙ v'

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.

Задания к уроку 3

Комментариев нет:

Отправить комментарий