Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 6 марта 2020 г.

Урок 6. Дії над векторами в просторі

ВІДЕО УРОК

Сума векторів, їх різниця, твір вектору на число і скалярний твір векторів визначається так само як і на площині. Тільки координат не дві, а три.

 Складання векторів.

 Для трьох векторів  (АО, ОС, ОО1), які не лежать в одній площині й мають спільний початок  О, їхня сума зображується діагоналлю паралелепіпеда (ОВ1), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів.
Координати вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.
Складання двох векторів робиться покоординатно, тобто, якщо
те

 c = {x3; y3; z3} =
{x1; y1; z1} + {x2; y2; z2} =
{x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2}.

 Ця формула має місце для довільного кінцевого числа доданків.

Правило паралелепіпеда додавання векторів.

Нехай дано три вектора
що не лежать в одній площині (їх називають некомпланарних).
Виконаємо такі побудови:
 1. Відкладемо від довільної точки  О  вектори
2. Побудуємо паралелепіпед так, щоб відрізки

ОА, ОВ, ОС

були його ребрами.
З малюнка видно, що
Таким чином, сума трьох векторів, що не паралельних одній площині представляється діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, відкладених від однієї точки, як на ребрах.
 Отримали правило паралелепіпеда для додавання векторів в просторі.
ПРИКЛАД:

 Візьмемо вектори
Сума векторів рівна:

Віднімання векторів.

 Віднімання двох векторів робиться покоординатно, аналогічно складанню, тобто якщо
те

 c = {x3; y3; z3} =
{x1; y1; z1} – {x2; y2; z2} =
{x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2}.

 Геометрично два вектори складаються за правилом паралелограма з урахуванням того, що різницею векторів є діагональ, що сполучає кінці векторів, причому результуючий вектор спрямований з кінця від'ємника в кінець зменшуваного вектору.
Важливим наслідком віднімання векторів є той факт, що якщо відомі координати початку і кінця вектору, то для обчислення координат вектору необхідно з координати його кінця відняти координати його початку.
Будь-який вектор простору
може бути представлений у вигляді різниці двох векторів, що виходять з початку координат:
Координати векторів
співпадають з координатами точок  А  і  В, оскільки початок координат  

 О (0; 0; 0).

 Таким чином, за правилом віднімання векторів слід зробити віднімання 
координат точки  А  з координат точки  В.
Візьмемо вектори
Різниця векторів рівна:
Добуток векторів.

 Множення вектору на число  λ  покоординатно:
При  λ ˃ 0 – вектор
сонаправлен
При  λ < 0 – вектор
протилежно спрямований
При  | λ | ˃ 1 – довжина вектору
збільшується в  λ  раз. При  | λ | < 1 – довжина вектору
зменшується в  λ  раз.

 ПРИКЛАД:

 Задано вектори
Знайдіть координати векторів:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:
Скалярний добуток двох векторів.
Скалярним добутком
векторів
називається число (скаляр), рівне твору довжин цих векторів на косинус кута  φ  між ними, тобто: скалярний добуток двох векторів
Скалярним добутком двох векторів
називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Позначення таке саме, як і для добутку чисел.
ПРИКЛАД:

Знайдіть кут між векторами
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Скористаємося формулою:
Тоді
Звідси
ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайти скалярний добуток векторів
якщо дано точки:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо вектори:
За формулою
Обчислимо скалярний добуток
Скалярний добуток позитивно, значить, кут між просторовими векторами є гострим.
ВІДПОВІДЬ:  6

Очевидно, що скалярний квадрат будь-якого ненульового вектору дорівнює квадрату його довжини, оскільки в цьому випадку кут  φ = 0, тому його косинус дорівнює  1.
Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох векторів є рівність нулю їх скалярного добутку.
Якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

 ПРИКЛАД:

 При якому значенні  р  вектори
Взаємно перпендикулярні ?

 РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
3 ∙ р + р ∙ (–2) + (–1) ∙ 5 = 3р – 2р – 5 = р – 5,
тоді

 р – 5 = 0.

 Звідси  р = 5.

 ВІДПОВІДЬ:  р = 5

 Попарні скалярні добутки одиничних орт дорівнюють нулю, тобто:
За допомогою скалярного добутку векторів можна вичислити кут між ними.
Якщо задані два ненульові вектори своїми координатами
те косинус кута  φ  між ними:
тобто
Звідси слідує умова перпендикулярності ненульових векторів
х1 x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

 За допомогою скалярного добутку векторів знаходять роботу постійної сили
на прямолінійній ділянці шляху.
Припустимо, що під дією постійної сили
матеріальна точка переміщується прямолінійно з положення  А  в положення  В. Вектор сили
Утворює кут  φ  з вектором переміщення


Фізика стверджує, що робота сили
при переміщенні
рівна
тобто
Отже, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні точки її застосування дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

 Проекції векторів.

 Нехай в просторі задана пряма (вісь  l), вектор
заданий координатами кінця і початку. Позначимо проекції точок   А  і  В  на вісь  l  відповідно через  А'  і  В'. Проекцією
вектору
на вісь  l  називається довжина вектору
узята зі знаком <<+>>, якщо вектор
и вісь  l  сонаправлені, і зі знаком  <<–>>, якщо
протилежно спрямовані.
Якщо в якості осі  l  узяти деякий інший вектор
те отримаємо проекцію вектору
на вектор
Знаходження проекції вектору
на напрям, заданий вектором
може здійснюватися по формулі:
тобто
Деякі основні властивості проекцій. 

1. Проекція вектору
на вісь  l  дорівнює добутку модуля вектору
на косинус кута між векторами і віссю, тобто
2. Проекція вектору на вісь позитивна (негативна), якщо вектор утворює з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут – прямій.

 3. Проекція суми декількох векторів на одну і ту ж вісь дорівнює сумі проекцій на цю вісь.

 Властивості векторного добутку.

 Якщо вектори задані своїми координатами:
той векторний добуток знаходиться по формулі:
ПРИКЛАД: 

Знайти векторний добуток векторів:
РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Складемо визначника і вичислимо його:
Змішаний добуток векторів. 

Змішаним добутком трьох векторів
називається число, рівне скалярному добутку векторів
на вектор
Геометричний сенс змішаного добутку. 

Якщо трійка векторів
права, то їх змішаний добуток дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на цих векторах:
У разі лівої трійки
змішаний добуток вказаних векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда зі знаком мінус:
Якщо
компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю. З вище сказаного можна зробити висновок, що об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах
дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів:
Об'єм піраміди, побудований на цій трійці векторів рівний:
Властивості змішаного добутку.
Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли:
Трійка векторів є правою тоді і тільки тоді, коли
Якщо ж
те вектори
утворюють ліву трійку векторів.
Якщо вектори:
задані своїми координатами, то їх змішаний добуток обчислюється за формулою:
Завдання до уроку 6
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий