Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 22 марта 2020 г.

Урок 3. Тригонометрические уравнения с функциями разных аргументов

ВИДЕО УРОК


Рациональные тригонометрические уравнения с функциями различных аргументов можно записать в виде:

R(sin x, cos x, tg x, ctg x, sin 2x, cos 2x, tg 2x, ctg 2x …) = 0,

где  R – символ рациональной функции.
Уравнения можно свести к виду

R(sin x, cos x, sin 2x, cos 2x …) = 0.

Тригонометрические уравнения с разными аргументами и одновременно, с различными функциями решают сведением их к уравнениям с одним аргументом.

Уравнения, левые части которых раскладываются на множители.

Если левую часть можно разложить на множители

R1, R2Rn = 0,

где  R1, R2Rn  – рациональные функции тригонометрических 
функций, то достаточно решить каждое из уравнений

R1 = 0, R2 = 0, … Rn = 0

и объединить общие развозки в одну множество, и будет решением исходного уравнения. При этом можно получить посторонние развязки, то есть те, при которых при внаем один из множителей левой части уравнения  (R1, R2Rn)  теряет смысл.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Сгруппируем члены левой части уравнения так:

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0.

и каждую из сумм в скобках преобразуем в произведение, воспользовавшись формулой:
Вынесем за скобки
и отбросим множитель  2:
Превратив сумму косинусов в произведение,
получим:
Из уравнений:
находим решения.

x = 2/5 πn,
x = π/2 (2n + 1),
x = π (2n + 1)
n = 0; ±1; ±2; …

Поскольку все множители левой части данного уравнения имеют смысл при всех значениях х, то сторонних решений здесь нет.

ОТВЕТ:

x = 2/5 πn,
x = π/2 (2n + 1),
x = π (2n + 1)
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin2 x + sin2 2x = sin2 3x.

РЕШЕНИЕ:

Перенесем все члены уравнения в левую часть, получим:

sin2 x + sin2 2x – sin2 3x = 0.

Сгруппировав первый и третий члены данного уравнения и разложив эту разницу квадратов на множители, найдем:

(sin x + sin 3x)(sin x – sin 3x) + sin2 2x = 0.

или

–2 sin 2x cos x 2sin x cos 2x + sin2 2x = 0.

Учитывая, что

2 sin x cos x = sin 2x,

имеем

–2 sin2 2x cos 2x + sin2 2x = 0

или

sin2 2x (1 – 2 cos 2x) = 0.

Последнее уравнение распадается на

sin 2x = 0,
cos 2x = 1/2,

откуда

x = ± π/6 + πn,
x = πn/2,

ОТВЕТ:

x = ± π/6 (6n ± 1),
x = πn/2,
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

2 sin 3x = 3 cos x  + cos 3x.

РЕШЕНИЕ:

Согласно формулам:

sin 3α = 3sin α – 4sin3 α,
cos 3α = 4cos3 α – 3cos α

sin 3х = 3 sin х – 4 sin3 х,
cos 3х = 4 cos3 х – 3 cos х.

Уравнение примет вид:

2 (3 sin х – 4 sin3 х) = 3 cos x + 4 cos3 х – 3 cos х.

или

6 sin х – 8 sin3 х – 4 cos3 х = 0.

Поскольку  cos x ≠ 0, то, разделив обе части уравнения на

2 cos3 х,

получим
или

3 tg x(1+ tg2 x) – 4 tg3 x – 2 = 0

и после возведения подобных членов

tg3 x – 3 tg x + 2 = 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители, найдем, что

(tg x + 2) (tg x – 1)2 = 0,

откуда

tg x = –2,
tg x = 1,

а следовательно,

x = –arctg 2 + πn
x = π/4  + πn,

ОТВЕТ:

x = –arctg 2 + πn
x = π/4 (4n + 1),
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin 5x + sin x + 2 sinx = 1.

РЕШЕНИЕ:

Перенесём единицу в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим её на множители.

Применим к

sin 5x + sin x

формулу для суммы синусов
и воспользуемся тем, что
sin2x = соs2x – соs 2х,

соs2x = 1 – sin2x,

sin2x = 1 – sin2x – соs 2х,

2 sin2x = 1 – соs 2х.

Тогда уравнение примет вид:

2 sin 3х cos 2х + (1 – соs 2х) – 1 = 0.

И далее:

2 sin 3х cos 2х + 1 – соs 2х – 1 =

2 sin 3х cos 2х – соs 2х = соs 2х (2 sin 3х – 1).

соs 2х (2 sin 3х – 1) = 0.

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

соs 2х = 0, 

2х = π/2 + πn,

x = π/4 + πn/2, n Z.

2 sin 3х – 1 = 0,

sin 3х = 1/2,

3х = (–1)k arcsin 1/2 + πk,

3х = (–1)k π/6 + πk,

х = (–1)k π/18 + πk/3, k Z.

ОТВЕТ:

π/4 + πn/2, n Z,

(–1)k π/18 + πk/3, k Z.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

сos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.

РЕШЕНИЕ:

Преобразовав все члены левой части уравнения по формуле:
получим
или

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители по формуле:
сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x =

(сos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x)

= 2 сos 5x cos 3x + 2 cos 5x cos x =

2 сos 5x (cos 3x + cos x) =

2 сos 5x cos 2x cos x.

Приходим к уравнению

сos 5x cos 2x cos x = 0,

откуда следует

cos x = 0,

cos 2x = 0,

сos 5x = 0,

и соответственно

x = π/2 (2n + 1),

x = π/4 (2n + 1),

x = π/10 (2n + 1).

ОТВЕТ:

x = π/4 (2n + 1),

x = π/10 (2n + 1).

n = 0; ±1; ±2; … .

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin2 x – sin 2x = 0.

РЕШЕНИЕ:

После замены

sin 2x  на  2 sin x соs x

получаем следующее уравнение

sin2 x – 2 sin x соs x = 0.

Раскладываем левую часть на множители:

sin x(sin x – 2 соs х) = 0,

откуда  sin x = 0,   

х = πn, n Z, или 

sin x – 2 соs х = 0, tg x = 2,

х = arctg 2 + πn, n Z,

х = x0 + πn, n Z

где  х0 = arctg 2 1,11.

Можно поделить обе две части уравнения на  соs2 x  и тогда получим уравнение:

tg2 x – 2 tg x = 0.

Если делить на  sin2 x, то необходимо учитывать, что те значения  х, при которых

sin x = 0

– решения данного уравнения. Поэтому до корней уравнения

сtg x1/2 = 0,

которое ми получили после деления на  sin2 x, необходимо добавить корни уравнения

sin x = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + sin 2x – cos x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разложим левую часть уравнения на множители:

2 sin 2x ∙ sin x + sin 2x = 0,

sin 2x (1 – 2 sin x) = 0.

sin 2x = 0,

2x = πkk Z,

x = πk/2k Z.
1 – 2 sin x = 0,

sin x = 1/2,

x = (–1)n π/6 + πnn Z.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

В ответе записать наименьший положительный корень (в градусах).

РЕШЕНИЕ:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2sin x) = 0.

cos 3x = 0, 

х = π/6 + πn/3n Z.

1 – 2sin x = 0,

x = (–1)k π/6 + πkk Z.

Изобразим множество решений

х = π/6 + πn/3n Z,

x = (–1)k π/6 + πkk Z

на единичной окружности.
Множество решений

x = (–1)k π/6 + πkk Z

является подмножеством множества

х = π/6 + πn/3n Z.

поэтому ответ будет следующий

х = π/6 + πn/3n Z.

Наименьший положительный корень равен:

π/6 = 30°.

ОТВЕТ:  30°

Тригонометрические уравнения, которые решаются преобразованием произведений тригонометрических функций в сумму.

К этому типу уравнений, в частности, относятся уравнения:

sin mx cos nx = sin px cos qx,
sin mx sin nx = sin px sin qx,
cos mx cos nx = cos px cos qx.

легко раскладывающееся на множители, если

m ± n = p ± q.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x.

РЕШЕНИЕ:

С помощью формулы
Преобразуем обе части уравнения в суммы и перенесем все члены уравнения в левую часть:
или

cos 4x – cos 2x = 0.

воспользовавшись формулой:
Разложим левую часть последнего уравнения на множители:

sin 3x sin x = 0,

отсюда находим:

sin 3x = 0,
sin x = 0,

следовательно,

x = πn
x = πn/3.

Поскольку вторая серия решений входит в состав первой, получаем окончательно:

x = πn/3.

ОТВЕТ:

x = πn/3,
n = 0; ±1; ±2; …

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.

Сложность решения уравнений этого типа состоит в формулировании ответа. Основной сложностью при решении дробно-рациональных тригонометрических уравнений является отбор его корней.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

ПРИМЕР:
РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых значений:

sin 2x ≠ 0,

2xπkk Z,

xπk/2k Z.

Решим уравнение:
Тогда

cos x = 0,  х = π/2 + πn, n Z.

cos 2x = 0,  х = π/4 + πk/2k Z.

Изобразим на единичной окружности точки, которые соответствуют корням уравнения

cos x = 0,  х = π/2 + πn, n Z.

cos 2x = 0, 

и зачеркнём точки, которые не входят в ОДЗ.
Поэтому,

х = π/4 + πk/2k Zкорни уравнения.

ОТВЕТ:

π/4 + πk/2k Z

Решение уравнений, пользуясь свойством ограничения функций

у = sin x  и  у = cos x.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + cos 5х/2 = 2.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

|cos 3x| ≤ 1,

|cos 5х/2| ≤ 1, тогда

cos 3x + cos 5х/2 ≤ 2,

равенство выполняется лишь тогда, когда:

cos 3x = 1,  х = 2πn/3n Z,

cos 5х/2 = 1,  x = 4πk/5k Z.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим:

2πn/3 = 4πk/5,

откуда

10πn = 12πkn Z, k Z.

n = 6k/5,  n Z, k Z.

Так как  n  и  k – целые числа, то в правую часть вместо  k  можно подставить лишь целые числа кратные  5. Поэтому последнее уравнение имеет решения лишь в целых числах вида  

k = 5l, l Z.

Подставляем значения  k = 5l  в решение системы  x = 4πk/5, получаем следующий ответ: 

x = 4πl, l Z.

ОТВЕТ:  4πl, l Z

Тригонометрические уравнения с параметрами.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

а sin2 x + 2(а + 2) sin x + 8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение будет или линейным относительно  sin x, если 

а = 0,

или квадратным относительно  sin x , если 

а 0.

1. а = 0,

4 sin x + 8 = 0, sin x = –2.

х .

2. а ≠ 0,

Введём замену  sin x = t  и получим:

а t2 + 2(а + 2)t + 8 = 0,

D/4 = (а + 2)2 – 8a = (а + 2)2,
Вернёмся обратно к замене:

1) sin x = –2,  х .

2) sin x = – 4/a.

Если

a (–∞; –4] [4; +∞), то

x = (–1)k arcsin (–4/a) + πkk Z.

Если  a (–4; 4),

то  х .

Комментариев нет:

Отправить комментарий