Урок 3. Тригонометрические уравнения с функциями разных аргументов

ВИДЕО УРОК

Рациональные тригонометрические уравнения с функциями различных аргументов можно записать в виде:

R(sin x, cos x, tg x, ctg x, sin 2x, cos 2x, tg 2x, ctg 2x …) = 0,

где  R – символ рациональной функции.

Уравнения можно свести к виду

R(sin x, cos x, sin 2x, cos 2x …) = 0.

Тригонометрические уравнения с разными аргументами и одновременно, с различными функциями решают сведением их к уравнениям с одним аргументом.

Уравнения, левые части которых раскладываются на множители.

Если левую часть можно разложить на множители

R₁, R₂ … R_n = 0,

где  R₁, R₂ … R_n  – рациональные функции тригонометрических 
функций, то достаточно решить каждое из уравнений

R₁ = 0, R₂ = 0, … R_n = 0

и объединить общие развозки в одну множество, и будет решением исходного уравнения. При этом можно получить посторонние развязки, то есть те, при которых при внаем один из множителей левой части уравнения  (R₁, R₂ … R_n)  теряет смысл.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Сгруппируем члены левой части уравнения так:

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0.

и каждую из сумм в скобках преобразуем в произведение, воспользовавшись формулой:

Вынесем за скобки

и отбросим множитель  2:

Превратив сумму косинусов в произведение,

получим:

Из уравнений:

находим решения.

x = ²/₅ πn,

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = π (2n + 1)

n = 0; ±1; ±2; …

Поскольку все множители левой части данного уравнения имеют смысл при всех значениях х, то сторонних решений здесь нет.

ОТВЕТ:

x = ²/₅ πn,

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = π (2n + 1)

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin² x + sin² 2x = sin² 3x.

РЕШЕНИЕ:

Перенесем все члены уравнения в левую часть, получим:

sin² x + sin² 2x – sin² 3x = 0.

Сгруппировав первый и третий члены данного уравнения и разложив эту разницу квадратов на множители, найдем:

(sin x + sin 3x)(sin x – sin 3x) + sin² 2x = 0.

или

–2 sin 2x cos x ∙ 2sin x cos 2x + sin² 2x = 0.

Учитывая, что

2 sin x cos x = sin 2x,

имеем

–2 sin² 2x cos 2x + sin² 2x = 0

или

sin² 2x (1 – 2 cos 2x) = 0.

Последнее уравнение распадается на

sin 2x = 0,

cos 2x = ¹/₂,

откуда

x = ± ^π/₆ + πn,

x = ^πn/₂,

ОТВЕТ:

x = ± ^π/₆ (6n ± 1),

x = ^πn/₂,

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

2 sin 3x = 3 cos x  + cos 3x.

РЕШЕНИЕ:

Согласно формулам:

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α,

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

sin 3х = 3 sin х – 4 sin³ х,

cos 3х = 4 cos³ х – 3 cos х.

Уравнение примет вид:

2 (3 sin х – 4 sin³ х) = 3 cos x + 4 cos³ х – 3 cos х.

или

6 sin х – 8 sin³ х – 4 cos³ х = 0.

Поскольку  cos x ≠ 0, то, разделив обе части уравнения на

2 cos³ х,

получим

или

3 tg x(1+ tg² x) – 4 tg³ x – 2 = 0

и после возведения подобных членов

tg³ x – 3 tg x + 2 = 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители, найдем, что

(tg x + 2) (tg x – 1)² = 0,

откуда

tg x = –2,

tg x = 1,

а следовательно,

x = –arctg 2 + πn

x = ^π/₄  + πn,

ОТВЕТ:

x = –arctg 2 + πn

x = ^π/₄ (4n + 1),

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin 5x + sin x + 2 sin² x = 1.

РЕШЕНИЕ:

Перенесём единицу в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим её на множители.

Применим к

sin 5x + sin x

формулу для суммы синусов

и воспользуемся тем, что

sin²x = соs²x – соs 2х,

соs²x = 1 – sin²x,

sin²x = 1 – sin²x – соs 2х,

2 sin²x = 1 – соs 2х.

Тогда уравнение примет вид:

2 sin 3х cos 2х + (1 – соs 2х) – 1 = 0.

И далее:

2 sin 3х cos 2х + 1 – соs 2х – 1 =

2 sin 3х cos 2х – соs 2х = соs 2х (2 sin 3х – 1).

соs 2х (2 sin 3х – 1) = 0.

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

соs 2х = 0, 

2х = ^π/₂ + πn,

x = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

2 sin 3х – 1 = 0,

sin 3х = ¹/₂,

3х = (–1)^k arcsin ¹/₂ + πk,

3х = (–1)^{k π}/₆ + πk,

х = (–1)^{k π}/₁₈ + ^πk/₃, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z,

(–1)^{k π}/₁₈ + ^πk/₃, k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

сos² x + cos² 2x + cos² 3x + cos² 4x = 2.

РЕШЕНИЕ:

Преобразовав все члены левой части уравнения по формуле:

получим

или

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители по формуле:

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x =

(сos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x)

= 2 сos 5x cos 3x + 2 cos 5x cos x =

2 сos 5x (cos 3x + cos x) =

2 сos 5x cos 2x cos x.

Приходим к уравнению

сos 5x cos 2x cos x = 0,

откуда следует

cos x = 0,

cos 2x = 0,

сos 5x = 0,

и соответственно

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = ^π/₄ (2n + 1),

x = ^π/₁₀ (2n + 1).

ОТВЕТ:

x = ^π/₄ (2n + 1),

x = ^π/₁₀ (2n + 1).

n = 0; ±1; ±2; … .

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin² x – sin 2x = 0.

РЕШЕНИЕ:

После замены

sin 2x  на  2 sin x соs x

получаем следующее уравнение

sin² x – 2 sin x соs x = 0.

Раскладываем левую часть на множители:

sin x(sin x – 2 соs х) = 0,

откуда  sin x = 0,   

х = πn, n ∈ Z, или 

sin x – 2 соs х = 0, tg x = 2,

х = arctg 2 + πn, n ∈ Z,

х = x₀ + πn, n ∈ Z

где  х₀ = arctg 2 ≈ 1,11.

Можно поделить обе две части уравнения на  соs² x  и тогда получим уравнение:

tg² x – 2 tg x = 0.

Если делить на  sin² x, то необходимо учитывать, что те значения  х, при которых

sin x = 0

– решения данного уравнения. Поэтому до корней уравнения

сtg x – ¹/₂ = 0,

которое ми получили после деления на  sin² x, необходимо добавить корни уравнения

sin x = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + sin 2x – cos x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разложим левую часть уравнения на множители:

–2 sin 2x ∙ sin x + sin 2x = 0,

sin 2x (1 – 2 sin x) = 0.

sin 2x = 0,

2x = πk,  k ∈ Z,

x = ^πk/₂,  k ∈ Z.
1 – 2 sin x = 0,

sin x = ¹/₂,

x = (–1)^{n π}/₆ + πn,  n ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

В ответе записать наименьший положительный корень (в градусах).

РЕШЕНИЕ:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2sin x) = 0.

cos 3x = 0, 

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

1 – 2sin x = 0,

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

Изобразим множество решений

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z,

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

на единичной окружности.

Множество решений

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

является подмножеством множества

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

поэтому ответ будет следующий

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

Наименьший положительный корень равен:

^π/₆ = 30°.

ОТВЕТ:  30°

Тригонометрические уравнения, которые решаются преобразованием произведений тригонометрических функций в сумму.

К этому типу уравнений, в частности, относятся уравнения:

sin mx cos nx = sin px cos qx,

sin mx sin nx = sin px sin qx,

cos mx cos nx = cos px cos qx.

легко раскладывающееся на множители, если

m ± n = p ± q.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x.

РЕШЕНИЕ:

С помощью формулы

Преобразуем обе части уравнения в суммы и перенесем все члены уравнения в левую часть:

или

cos 4x – cos 2x = 0.

воспользовавшись формулой:

Разложим левую часть последнего уравнения на множители:

sin 3x sin x = 0,

отсюда находим:

sin 3x = 0,

sin x = 0,

следовательно,

x = πn

x = ^πn/₃.

Поскольку вторая серия решений входит в состав первой, получаем окончательно:

x = ^πn/_3.

ОТВЕТ:

x = ^πn/_3,

n = 0; ±1; ±2; …

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.

Сложность решения уравнений этого типа состоит в формулировании ответа. Основной сложностью при решении дробно-рациональных тригонометрических уравнений является отбор его корней.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых значений:

sin 2x ≠ 0,

2x ≠ πk,  k ∈ Z,

x ≠ ^πk/₂,  k ∈ Z.

Решим уравнение:

Тогда

cos x = 0,  х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

cos 2x = 0,  х = ^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z.

Изобразим на единичной окружности точки, которые соответствуют корням уравнения

cos x = 0,  х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

cos 2x = 0, 

и зачеркнём точки, которые не входят в ОДЗ.

Поэтому,

х = ^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z – корни уравнения.

ОТВЕТ:

^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z

Решение уравнений, пользуясь свойством ограничения функций

у = sin x  и  у = cos x.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

cos 3x + cos ^5х/₂ = 2.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

|cos 3x| ≤ 1,

|cos ^5х/₂| ≤ 1, тогда

cos 3x + cos ^5х/₂ ≤ 2,

равенство выполняется лишь тогда, когда:

cos 3x = 1,  х = ^2πn/₃,  n ∈ Z,

cos ^5х/₂ = 1,  x = ^4πk/₅,  k ∈ Z.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим:

^2πn/₃ = ^4πk/₅,

откуда

10πn = 12πk,  n ∈ Z, k ∈ Z.

n = ^6k/_5,  n ∈ Z, k ∈ Z.

Так как  n  и  k – целые числа, то в правую часть вместо  k  можно подставить лишь целые числа кратные  5. Поэтому последнее уравнение имеет решения лишь в целых числах вида  

k = 5l, l ∈ Z.

Подставляем значения  k = 5l  в решение системы  x = ^4πk/₅, получаем следующий ответ: 

x = 4πl, l ∈ Z.

ОТВЕТ:  4πl, l ∈ Z

Тригонометрические уравнения с параметрами.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

а sin² x + 2(а + 2) sin x + 8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение будет или линейным относительно  sin x, если 

а = 0,

или квадратным относительно  sin x , если 

а ≠ 0.

1. а = 0,

4 sin x + 8 = 0, sin x = –2.

х ∈ ∅.

2. а ≠ 0,

Введём замену  sin x = t  и получим:

а t² + 2(а + 2)t + 8 = 0,

^D/₄ = (а + 2)² – 8a = (а + 2)²,

Вернёмся обратно к замене:

1) sin x = –2,  х ∈ ∅.

2) sin x = – ⁴/_a.

Если

a ∈ (–∞; –4] ∪ [4; +∞), то

x = (–1)^k arcsin (–⁴/_a) + πk,  k ∈ Z.

Если  a ∈ (–4; 4),

то  х ∈ ∅.

Задания к уроку 3

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
• Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
• Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
• Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства
• Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств