Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів

ВИДЕО УРОК

Раціональні тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів можна записати у вигляді:

R(sin x, cos x, tg x, ctg x, sin 2x, cos 2x, tg 2x, ctg 2x …) = 0,

де  R – символ раціональної функції.

Рівняння можна звести до вигляду

R(sin x, cos x, sin 2x, cos 2x …) = 0.

Тригонометричні рівняння з різними аргументами і одночасно, з різними функціями розв'язують зведенням їх до рівнянь з одним аргументом.

Рівняння, ліві частини яких розкладаються на множники.

Якщо ліву частину можна розкласти на множники

R₁, R₂ … R_n = 0,

де  R₁, R₂ … R_n  – раціональні функції тригонометричних функцій, то досить розв'язати кожне з рівнянь

R₁ = 0, R₂ = 0, … R_n = 0

і об’єднати загальні розв'язки в одну множину, яка й буде розв'язком вихідного рівняння. При цьому можна одержати сторонні розв'язки, тобто ті, при яких при найми один з множників лівої частини рівняння  (R₁, R₂ … R_n)  втрачає смисл.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Згрупуємо члени лівої частини рівняння так:

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0.

і кожну з сум у дужках перетворимо в добуток, скориставшись формулою:

Винесемо за дужки

і відкинемо множник  2:

Перетворивши суму косинусів у добуток,

одержимо:

З рівнянь:

знайдемо розв'язки.

x = ²/₅ πn,

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = π(2n + 1)

n = 0; ±1; ±2; …

Оскільки всі множники лівої частини даного рівняння мають смисл при всіх значеннях  х, то сторонніх розв'язків тут немає.

ВІДПОВІДЬ:

x = ²/₅ πn,

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = π(2n + 1)

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin² x + sin² 2x = sin² 3x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо всі члени рівняння в ліву частину. Одержимо:

sin² x + sin² 2x – sin² 3x = 0.

Згрупувати перший і третій члени даного рівняння і розклавши цю різницю квадратів на множники, знайдемо:

(sin x + sin 3x)(sin x – sin 3x) + sin² 2x = 0.

або

–2 sin 2x cos x ∙ 2sin x cos 2x + sin² 2x = 0.

Враховуючи, що

2 sin x cos x = sin 2x,

маємо

–2 sin² 2x cos 2x + sin² 2x = 0

або

sin² 2x (1 – 2 cos 2x) = 0.

Останнє рівняння розпадається на

sin 2x = 0,

cos 2x = ¹/₂,

звідси

x = ± ^π/₆ + πn,

x = ^πn/₂,

ВІДПОВІДЬ:

x = ± ^π/₆ (6n ± 1),

x = ^πn/₂,

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2 sin 3x = 3 cos x  + cos 3x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Згідно з формулами:

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α,

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

sin 3х = 3 sin х – 4 sin³ х,

cos 3х = 4 cos³ х – 3 cos х.

Рівняння набуде вигляду:

2 (3 sin х – 4 sin³ х) = 3 cos x + 4 cos³ х – 3 cos х.

або

6 sin х – 8 sin³ х – 4 cos³ х = 0.

Оскільки  cos x ≠ 0, то, розділивши обидві частини рівняння на

2 cos³ х,

одержимо

або

3 tg x(1+ tg² x) – 4 tg³ x – 2 = 0

і після зведення подібних членів

tg³ x – 3 tg x + 2 = 0.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, знайдемо, що

(tg x + 2) (tg x – 1)² = 0,

звідки

tg x = –2,

tg x = 1,

а отже,

x = –arctg 2 + πn

x = ^π/₄  + πn,

ВІДПОВІДЬ:

x = –arctg 2 + πn

x = ^π/₄ (4n + 1),

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin 5x + sin x + 2 sin² x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо одиницю в ліву частину і, виконавши перетворення лівої частини, розкладемо її на множники.

Застосуємо до

sin 5x + sin x

формулу для суми синусів

і скористаємося тим, що

sin² x = соs² x – соs 2х,

соs² x = 1 – sin² x,

sin² x = 1 – sin² x – соs 2х,

2 sin² x = 1 – соs 2х.

Тоді рівняння набере вигляду:

2 sin 3х cos 2х + (1 – соs 2х) – 1 = 0.

І далі:

2 sin 3х cos 2х + 1 – соs 2х – 1 =

2 sin 3х cos 2х – соs 2х = соs 2х (2 sin 3х – 1).

соs 2х (2 sin 3х – 1) = 0.

Тепер завдання звелося до рішення сукупності рівнянь:

соs 2х = 0, 

2х = ^π/₂ + πn,

x = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

2 sin 3х – 1 = 0,

sin 3х = ¹/₂,

3х = (–1)^k arcsin ¹/₂ + πk,

3х = (–1)^{k π}/₆ + πk,

х = (–1)^{k π}/₁₈ + ^πk/₃, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z,

(–1)^{k π}/₁₈ + ^πk/₃, k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

сos² x + cos² 2x + cos² 3x + cos² 4x = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворивши всі члени лівої частини рівняння за формулою:

одержимо

або

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники по формулі:

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x =

(сos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x)

= 2 сos 5x cos 3x + 2 cos 5x cos x =

2 сos 5x (cos 3x + cos x) =

2 сos 5x cos 2x cos x.

Приходимо до рівняння

сos 5x cos 2x cos x = 0,

звідки випливає

cos x = 0,

cos 2x = 0,

сos 5x = 0,

і відповідно

x = ^π/₂ (2n + 1),

x = ^π/₄ (2n + 1),

x = ^π/₁₀ (2n + 1).

ВІДПОВІДЬ:

x = ^π/₄ (2n + 1),

x = ^π/₁₀ (2n + 1).

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin² x – sin 2x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Після заміни

sin 2x  на  2 sin x соs x

зводиться до рівняння

sin² x – 2 sin x соs x = 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

sin x(sin x – 2 соs х) = 0,

звідки  sin x = 0, тобто 

х = πn, n ∈ Z, або 

sin x – 2 соs х = 0, tg x = 2,

тобто,

х = arctg 2 + πn, n ∈ Z,

х = x₀ + πn, n ∈ Z

де  х₀ = arctg 2 ≈ 1,11.

Можна поділити обидві частини рівняння на  соs² x  і дістати рівняння:

tg²x – 2tg x = 0.

Якщо ділити на  sin² x, то треба врахувати, що ті  х, при яких

sin x = 0

– розв’язки даного рівняння. Тому до коренів рівняння

сtg x – ¹/₂ = 0,

яке ми дістали після ділення на  sin² x = 0, треба додати корені рівняння

sin x = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + sin 2x – cos x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо ліву частину на множники:

–2 sin 2x ∙ sin x + sin 2x = 0,

sin 2x (1 – 2 sin x) = 0.

sin 2x = 0,

2x = πk,  k ∈ Z,

x = ^πk/₂,  k ∈ Z.
1 – 2 sin x = 0,

sin x = ¹/₂,

x = (–1)^{n π}/₆ + πn,  n ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

У відповідь записати найменший додатний корінь (у градусах).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2sin x) = 0.

cos 3x = 0,  х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

1 – 2sin x = 0, x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

Зобразимо множину розв’язків

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z,

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

на одиничному колі.

Множина розв’язків

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

є підмножиною множини

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

тому відповіддю є

х = ^π/₆ + ^πn/₃,  n ∈ Z.

Найменший додатний корінь дорівнює:

^π/₆ = 30°.

ВІДПОВІДЬ:  ^π/₆ = 30°

Тригонометричні рівняння, що розв'язуються перетворенням добутків тригонометричних функцій в суми.

До цього типу рівнянь, зокрема, належать рівняння:

sin mx cos nx = sin px cos qx,

sin mx sin nx = sin px sin qx,

cos mx cos nx = cos px cos qx.

що легко розкладаються на множники, якщо

m ± n = p ± q.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За допомогою формули

Перетворимо обидві частини рівняння в суми і перенесемо всі члени рівняння в ліву частину:

або

cos 4x – cos 2x = 0.

Скориставшись формулою:

Розкладемо ліву частину останнього рівняння на множники:

sin 3x sin x = 0,

звідси знаходимо:

sin 3x = 0,

sin x = 0,

отже,

x = πn

x = ^πn/₃.

Оскільки друга серія розв'язків входить до складу першої, одержуємо остаточно:

x = ^πn/_3.

ВІДПОВІДЬ:

x = ^πn/_3,

n = 0; ±1; ±2; …

Дробово-раціональні тригонометричні рівняння.

Складність розв’язування рівнянь цього типу полягає у формуванні відповіді. Основною складністю при розв’язуванні дробово-раціональних тригонометричних рівнянь є відбір його коренів.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо область допустимих значень:

sin 2x ≠ 0,

2x ≠ πk,  k ∈ Z,

x ≠ ^πk/₂,  k ∈ Z.

Розв’яжемо рівняння:

Тоді

cos x = 0,  х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

cos 2x = 0,  х = ^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z.

Зобразимо на одиночному колі точки, які відповідають кореням рівняння

cos x = 0,  х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

cos 2x = 0, 

і закреслимо точки, яки не входять в  ОДЗ.

Отже,

х = ^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z – корені рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₄ + ^πk/₂,  k ∈ Z

Розв’язування рівнянь на застосування обмеженості функцій

у = sin x  і  у = cos x.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + cos ^5х/₂ = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

|cos 3x| ≤ 1,

|cos ^5х/₂| ≤ 1, тоді

cos 3x + cos ^5х/₂ ≤ 2,

до того ж рівність виконується лише тоді, коли:

cos 3x = 1,  х = ^2πn/₃,  n ∈ Z,

cos ^5х/₂ = 1,  x = ^4πk/₅,  k ∈ Z.

Прирівнюючи праві частини цих рівностей, одержимо:

^2πn/₃ = ^4πk/₅,

звідки

10πn = 12πk,  n ∈ Z, k ∈ Z.

n = ^6k/_5,  n ∈ Z, k ∈ Z.

Оскільки  n  і  k – цілі числа, то в праву частину замість  k  можна підставити лише цілі числа кратні  5. Тому останнє рівняння має розв’язки лише у цілих числах виду  k = 5l, l ∈ Z. Підставляючи значення  k = 5l  в розв’язок системи  x = ^4πk/₅, одержуємо, що 

x = 4πl, l ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:  4πl, l ∈ Z

Тригонометричні рівняння з параметрами.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

а sin² x + 2(а + 2) sin x + 8 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Задане рівняння є або лінійним відносно  sin x, якщо  а = 0, або квадратним відносно sin x , якщо  а ≠ 0.

1. а = 0,

4 sin x + 8 = 0, 

sin x = –2.

х ∈ ∅.

2. а ≠ 0,

Уведемо заміну  sin x= t  й одержимо:

а t² + 2(а + 2)t + 8 = 0,

^D/₄ = (а + 2)² – 8a = (а + 2)²,

Повернемося до заміни:

1) sin x = –2,  х ∈ ∅.

2) sin x = – ⁴/_a.

Якщо 

a ∈ (–∞; –4] ∪ [4; +∞), то

x = (–1)^k arcsin (–⁴/_a) + πk,  k ∈ Z.

Якщо  a ∈ (–4; 4),

то  х ∈ ∅.

Завдання до уроку 3.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
• Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
• Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
• Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності
• Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей