Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 22 марта 2020 г.

Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів

ВИДЕО УРОК

Раціональні тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів можна записати у вигляді:

R(sin x, cos x, tg x, ctg x, sin 2x, cos 2x, tg 2x, ctg 2x …) = 0,

де  R – символ раціональної функції.
Рівняння можна звести до вигляду

R(sin x, cos x, sin 2x, cos 2x) = 0.

Тригонометричні рівняння з різними аргументами і одночасно, з різними функціями розв'язують зведенням їх до рівнянь з одним аргументом.

Рівняння, ліві частини яких розкладаються на множники.

Якщо ліву частину можна розкласти на множники

R1, R2Rn = 0,

де  R1, R2Rn  – раціональні функції тригонометричних функцій, то досить розв'язати кожне з рівнянь

R1 = 0, R2 = 0, … Rn = 0

і об’єднати загальні розв'язки в одну множину, яка й буде розв'язком вихідного рівняння. При цьому можна одержати сторонні розв'язки, тобто ті, при яких при найми один з множників лівої частини рівняння  (R1, R2Rn)  втрачає смисл.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Згрупуємо члени лівої частини рівняння так:

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0.

і кожну з сум у дужках перетворимо в добуток, скориставшись формулою:
Винесемо за дужки
і відкинемо множник  2:
Перетворивши суму косинусів у добуток,
одержимо:
З рівнянь:
знайдемо розв'язки.

x = 2/5 πn,
x = π/2 (2n + 1),
x = π(2n + 1)
n = 0; ±1; ±2; …

Оскільки всі множники лівої частини даного рівняння мають смисл при всіх значеннях  х, то сторонніх розв'язків тут немає.

ВІДПОВІДЬ:

x = 2/5 πn,
x = π/2 (2n + 1),
x = π(2n + 1)
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin2 x + sin2 2x = sin2 3x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо всі члени рівняння в ліву частину. Одержимо:

sin2 x + sin2 2xsin2 3x = 0.

Згрупувати перший і третій члени даного рівняння і розклавши цю різницю квадратів на множники, знайдемо:

(sin x + sin 3x)(sin xsin 3x) + sin2 2x = 0.

або

–2 sin 2x cos x 2sin x cos 2x + sin2 2x = 0.

Враховуючи, що

2 sin x cos x = sin 2x,

маємо

–2 sin2 2x cos 2x + sin2 2x = 0

або

sin2 2x (1 – 2 cos 2x) = 0.

Останнє рівняння розпадається на

sin 2x = 0,
cos 2x = 1/2,

звідси

x = ± π/6 + πn,
x = πn/2,

ВІДПОВІДЬ:

x = ± π/6 (6n ± 1),
x = πn/2,
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2 sin 3x = 3 cos x  + cos 3x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Згідно з формулами:

sin 3α = 3sin α – 4sin3 α,
cos 3α = 4cos3 α – 3cos α

sin 3х = 3 sin х – 4 sin3 х,
cos 3х = 4 cos3 х – 3 cos х.

Рівняння набуде вигляду:

2 (3 sin х – 4 sin3 х) = 3 cos x + 4 cos3 х – 3 cos х.

або

6 sin х – 8 sin3 х 4 cos3 х = 0.

Оскільки  cos x ≠ 0, то, розділивши обидві частини рівняння на

2 cos3 х,

одержимо
або

3 tg x(1+ tg2 x) – 4 tg3 x – 2 = 0

і після зведення подібних членів

tg3 x – 3 tg x + 2 = 0.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, знайдемо, що

(tg x + 2) (tg x – 1)2 = 0,

звідки

tg x = –2,
tg x = 1,

а отже,

x = –arctg 2 + πn
x = π/4  + πn,

ВІДПОВІДЬ:

x = –arctg 2 + πn
x = π/4 (4n + 1),
n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin 5x + sin x + 2 sinx = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо одиницю в ліву частину і, виконавши перетворення лівої частини, розкладемо її на множники.

Застосуємо до

sin 5x + sin x

формулу для суми синусів
і скористаємося тим, що
sin2 x = соs2 x – соs 2х,

соsx = 1 – sinx,

sinx = 1 – sinx – соs 2х,

2 sin2 x = 1 – соs 2х.

Тоді рівняння набере вигляду:

2 sin 3х cos 2х + (1 – соs 2х) – 1 = 0.

І далі:

2 sin 3х cos 2х + 1 – соs 2х – 1 =

2 sin 3х cos 2х – соs 2х = соs 2х (2 sin 3х – 1).

соs 2х (2 sin 3х – 1) = 0.

Тепер завдання звелося до рішення сукупності рівнянь:

соs 2х = 0, 

2х = π/2 + πn,

x = π/4 + πn/2, n Z.

2 sin 3х – 1 = 0,

sin 3х = 1/2,

3х = (–1)k arcsin 1/2 + πk,

3х = (–1)k π/6 + πk,

х = (–1)k π/18 + πk/3, k Z.

ВІДПОВІДЬ:

π/4 + πn/2, n Z,

(–1)k π/18 + πk/3, k Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

сos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворивши всі члени лівої частини рівняння за формулою:
одержимо
або

сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники по формулі:
сos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x =

(сos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x)

= 2 сos 5x cos 3x + 2 cos 5x cos x =

2 сos 5x (cos 3x + cos x) =

2 сos 5x cos 2x cos x.

Приходимо до рівняння

сos 5x cos 2x cos x = 0,

звідки випливає

cos x = 0,

cos 2x = 0,

сos 5x = 0,

і відповідно

x = π/2 (2n + 1),

x = π/4 (2n + 1),

x = π/10 (2n + 1).

ВІДПОВІДЬ:

x = π/4 (2n + 1),

x = π/10 (2n + 1).

n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin2 x – sin 2x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Після заміни

sin 2x  на  2 sin x соs x

зводиться до рівняння

sin2 x – 2 sin x соs x = 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

sin x(sin x – 2 соs х) = 0,

звідки  sin x = 0, тобто 

х = πn, n Z, або 

sin x – 2 соs х = 0, tg x = 2,

тобто,

х = arctg 2 + πn, n Z,

х = x0 + πn, n Z

де  х0 = arctg 2 1,11.

Можна поділити обидві частини рівняння на  соs2 x  і дістати рівняння:

tg2x – 2tg x = 0.

Якщо ділити на  sin2 x, то треба врахувати, що ті  х, при яких

sin x = 0

– розв’язки даного рівняння. Тому до коренів рівняння

сtg x1/2 = 0,

яке ми дістали після ділення на  sin2 x = 0, треба додати корені рівняння

sin x = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + sin 2x – cos x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо ліву частину на множники:

2 sin 2x ∙ sin x + sin 2x = 0,

sin 2x (1 – 2 sin x) = 0.

sin 2x = 0,

2x = πkk Z,

x = πk/2k Z.
1 – 2 sin x = 0,

sin x = 1/2,

x = (–1)n π/6 + πnn Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

У відповідь записати найменший додатний корінь (у градусах).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2sin x) = 0.

cos 3x = 0,  х = π/6 + πn/3n Z.

1 – 2sin x = 0, x = (–1)k π/6 + πkk Z.

Зобразимо множину розв’язків

х = π/6 + πn/3n Z,

x = (–1)k π/6 + πkk Z

на одиничному колі.
Множина розв’язків

x = (–1)k π/6 + πkk Z

є підмножиною множини

х = π/6 + πn/3n Z.

тому відповіддю є

х = π/6 + πn/3n Z.

Найменший додатний корінь дорівнює:

π/6 = 30°.

ВІДПОВІДЬ:  π/6 = 30°

Тригонометричні рівняння, що розв'язуються перетворенням добутків тригонометричних функцій в суми.

До цього типу рівнянь, зокрема, належать рівняння:

sin mx cos nx = sin px cos qx,
sin mx sin nx = sin px sin qx,
cos mx cos nx = cos px cos qx.

що легко розкладаються на множники, якщо

m ± n = p ± q.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За допомогою формули
Перетворимо обидві частини рівняння в суми і перенесемо всі члени рівняння в ліву частину:
або

cos 4x – cos 2x = 0.

Скориставшись формулою:
Розкладемо ліву частину останнього рівняння на множники:

sin 3x sin x = 0,

звідси знаходимо:

sin 3x = 0,
sin x = 0,

отже,

x = πn
x = πn/3.

Оскільки друга серія розв'язків входить до складу першої, одержуємо остаточно:

x = πn/3.

ВІДПОВІДЬ:

x = πn/3,
n = 0; ±1; ±2; …

Дробово-раціональні тригонометричні рівняння.

Складність розв’язування рівнянь цього типу полягає у формуванні відповіді. Основною складністю при розв’язуванні дробово-раціональних тригонометричних рівнянь є відбір його коренів.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо область допустимих значень:

sin 2x ≠ 0,

2xπkk Z,

xπk/2k Z.

Розв’яжемо рівняння:
Тоді

cos x = 0,  х = π/2 + πn, n Z.

cos 2x = 0,  х = π/4 + πk/2k Z.

Зобразимо на одиночному колі точки, які відповідають кореням рівняння

cos x = 0,  х = π/2 + πn, n Z.

cos 2x = 0, 

і закреслимо точки, яки не входять в  ОДЗ.
Отже,

х = π/4 + πk/2k Zкорені рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

π/4 + πk/2k Z

Розв’язування рівнянь на застосування обмеженості функцій

у = sin x  і  у = cos x.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 3x + cos 5х/2 = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

|cos 3x| ≤ 1,

|cos 5х/2| ≤ 1, тоді

cos 3x + cos 5х/2 ≤ 2,

до того ж рівність виконується лише тоді, коли:

cos 3x = 1,  х = 2πn/3n Z,

cos 5х/2 = 1,  x = 4πk/5k Z.

Прирівнюючи праві частини цих рівностей, одержимо:

2πn/3 = 4πk/5,

звідки

10πn = 12πkn Z, k Z.

n = 6k/5,  n Z, k Z.

Оскільки  n  і  k – цілі числа, то в праву частину замість  k  можна підставити лише цілі числа кратні  5. Тому останнє рівняння має розв’язки лише у цілих числах виду  k = 5l, l Z. Підставляючи значення  k = 5l  в розв’язок системи  x = 4πk/5, одержуємо, що 

x = 4πl, l Z.

ВІДПОВІДЬ:  4πl, l Z

Тригонометричні рівняння з параметрами.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

а sin2 x + 2(а + 2) sin x + 8 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Задане рівняння є або лінійним відносно  sin x, якщо  а = 0, або квадратним відносно sin x , якщо  а 0.

1. а = 0,

4 sin x + 8 = 0, 

sin x = –2.

х .

2. а ≠ 0,

Уведемо заміну  sin x= t  й одержимо:

а t2 + 2(а + 2)t + 8 = 0,

D/4 = (а + 2)2 – 8a = (а + 2)2,
Повернемося до заміни:

1) sin x = –2,  х .

2) sin x = – 4/a.

Якщо 

a (–∞; –4] [4; +∞), то

x = (–1)k arcsin (–4/a) + πkk Z.

Якщо  a (–4; 4),

то  х .

Завдання до уроку 3.

Комментариев нет:

Отправить комментарий