Урок 7. Применение производной при исследовании функций

ВИДЕО УРОК

Связь производной и промежутков монотонности функции.

Монотонно возрастающая функция – это функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Монотонно убывающая функция – это функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если  ∆x ˃ 0, то знак приращения  ∆y  и знак производной в точке  x₀  совпадает со знаком  f ' (x₀). То есть если производная  f ' (x₀)  в этой точке больше нуля, то  ∆y ˃ 0  и понятно, что функция в окрестности этой точки будет возрастать. А если производная меньше нуля, значит,  ∆y < 0  и понятно, что в окрестности этой точки функция будет убывать.

Производная в точке  x₀  есть тангенс угла наклона касательной  α.

Касательная описывается линейной функцией. В окрестности точки  х₀  кривая и линейная функция почти совпадают. Если угол наклона острый, тангенс будет положительным, угловой коэффициент – величина положительная, и линейная функция возрастает, а значит, в окрестности этой точки и сама функция возрастает:

И наоборот, если линейная функция убывает, угол тупой, тангенс – величина отрицательная, значит, линейная функция убывает, а с ней убывает и сама функция:

Так события развиваются в окрестности точки  х₀. Эти события подчиняются геометрическому смыслу производной (её физическому смыслу то есть соотношению

∆у ≈ f ‘ (x₀) ∙ ∆х).

Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной.

Рассмотрим функцию и её поведение на всей  ОДЗ.

Предположим, что это график исследуемой функции. Есть точка  х₁. Касательная наклонена под острым углом  α₁.

Значит в точке  х₁  функция возрастает. В точке  х₂  касательная параллельна оси  Ох, значит  х₂ – точка экстремума.

В точке  х₃  угол  α₃  наклона касательной будет тупым, тангенс будет величиной отрицательной, значит, производная отрицательная и функция здесь убывает.

И, наконец, в точке  х₄  производная равна нулю и дальше функция возрастает.

Выясняется, что функция возрастает на интервалах, где производная больше нуля:

если же значение производной отрицательное, то функция убывает:

Вся  ОДЗ  состоит из отдельных точек, значит, надо выделить те интервалы, на которых производная меньше нуля и на которых производная больше нуля. Эти интнрвалы определяют те участки  ОДЗ, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Вся  ОДЗ  состоит из отдельных точек, значит, надо выделить те интервалы, на которых производная меньше нуля, на которых производная больше нуля, и они определят те участки  ОДЗ, на которых функция либо возрастает, либо убывает. Этот же вывод получим, рассматривая соотношение

∆у ≈ f ' (x₀) ∙ ∆х.

На тех областях, на которых производная  f ' (x₀)  меньше нуля,  ∆у < 0  функция убывает. Соответственно, на тех областях  ОДЗ, где производная   f ' (x₀)  больше нуля  ∆у ˃ 0   функция возрастает.

Теперь можно написать, где убывает, а где возрастает данная нам функция.

На рисунке показаны промежутки возрастания функции.

Функция  y = f (x)  возрастает при 

х ∈ (–∞; x₂],  [х₄; +∞)

Теперь выясним, где данная функция убывает.

На рисунке показаны промежутки убывания функции.

Функция  y = f (x)  убывает при 

х ∈ [х₂; x₄]

В точках  х₂  и  x₄  производная равна нулю, поэтому их значения не включаем.

Но мы рассматриваем тот случай, когда производная меньше нуля. Но функция убывает, когда  х  принадлежит отрезку

[х₂; x₄]

При этом эти точки включены также в интервалы, когда функция возрастает.

Делаем вывод: интервалы знакопостоянства   

f ' (x₀)

являются интервалами монотонности

f (x).

Необходимо научиться находить промежутки возрастания и убывания функции с помощью производной. Для этого надо найти производную, выделить её интервалы знакопостоянства и тем самым мы узнаем, где эта функция монотонно убывает и где она монотонно возрастает.

Точки экстремумов функции.

Мы рассмотрели случаи, когда производная меньше нуля и когда она больше нуля. Также важный случай, когда производная равна нулю.

Точка максимума и точка минимума функции.

Рассмотрим рисунок.

Точка  х₂ – точка максимума функции (max), если существует окрестность точки  х₂, для которой

f (x₂) ˃ f (x),

то есть, если значение функции в этой точке больше чем значение функции в любой точке её окрестности.

Точка  х₄ – точка минимума функции (min), если существует окрестность точки  х₄, для которой

f (x₄) < f (x),

то есть, если значение функции в этой точке меньше чем значение функции в любой точке её окрестности.

При поиске наибольшего и наименьшего значения функции на всей  ОДЗ, то есть её глобальных экстремумов, нужно помнить, что они могут не совпадать с её локальными экстремумами, точками, где производная меняет знак.

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию:

у = 2х²(х² – 1),   х ∈ [–2; 2].

Здесь точка  х = 0 – точка локального максимума. Функция здесь равна нулю.

Точка  х = ± 2 – точка глобального максимума, в них функция равняется  24.

Далее, когда речь пойдёт об экстремумах, подразумеваются локальные экстремумы.

Как узнать, где точка максимума, а где точка минимума, подскажет производная.

На рисунке наглядно показано, что до точки  х₂  функция возрастает, производная  f ' (x) ˃ 0, а после этой точки функция убывает, производная  f ' (x) < 0.

А значение производной в точке  x₂: 

f ' (x₀) = 0.

Мы получили достаточный признак максимума:

Производная равна нулю и при этом знак производной меняется с плюса на минус при переходе аргумента через точку  x₂.

Рассмотрим точку  x₄. Производная в точке

f ' (x₄) = 0.

Но является ли данная точка точкой экстремума ? Производная слева от этой точки отрицательна, касательная наклонена под тупым углом. Производная справа положительная, значит, производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку  x₄, значит точка  x₄ – точка минимума.

Мы рассмотрели точку минимума и точку максимума, и достаточный признак точки минимума и точки максимума.

Как узнать, является ли точка точкой минимума или точкой максимума ? Нужно взять производную и приравнять её к нулю. Тогда мы найдём точки  x₂, x₄  и так далее. Это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю.

Критическая точка функции – это внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. То есть  x₂  и  x₄ – критические точки.

х₂ – точка max,

x₄ – точка min.

Но так происходит не всегда.

Точка перегиба.

Рассмотрим следующую функцию.

Производная в точке  x₀  равна нулю:

f ' (x₀) = 0,

касательная параллельна оси  Ох.

Является ли она точкой экстремума ? Нет. Почему ? Потому что до точки  x₀  производная положительна, функция возрастает.

И после этой точки производная также положительна.

Функция возрастает и слева и справа от точки, значит, x₀  не является точкой экстремума.

Лемма Ферма.

Если функция  f (x)  имеет производную и в точке  x₀  имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно  0.

Это необходимый признак, из него мы выясняем, какие точки нам нужны для исследования. Все остальные отметаем.

Данный рисунок иллюстрирует нам то, что равенство нулю – это лишь необходимый признак экстремума, но не достаточный.

Точка перегиба, локальный характер точек экстремума.

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке.

х₁ – точка минимума,

х₂ – точка максимума,

х₃ – точка минимума,

х₁ – точка минимума, значит, существует некая окрестность, где значение функции является наименьшим, но существует также вторая точка минимума.

у(х₁) ˃ у(х₃),

таким образом, глобально, наименьшим значением функции на всеё  ОДЗ  является значение функции в точке  х₃.

х₂ – точка максимума, но наибольшего значения данной функции не существует, потому что есть точки, в которых значение функции значительно больше, чем в точке  х₂.

Таким образом, данным рисунком мы подчёркиваем локальный характер точек экстремума. Можно записать:

у_наим = у(х₃);

у(х₃) ≤ у(х).

То есть значение функции в точке  х₃  меньше, либо равно значению функции в любой точке  ОДЗ.

Порядок исследования функции.

Нам известно, как по знаку производной найти интервалы монотонного возрастания или убывания функции, известно также, каким образом определить точки максимума и точки минимума функции.

Теперь определим порядок исследования функции на экстремумы и на монотонность с помощью производной.

Порядок такой:

1.  Найти  f ' (x).

2.  Выделить интервалы знакопостоянства  f ' (x). Они определят интервалы монотонности  f (x).

3.  Найти критические точки (внутренние точки  ОДЗ, в которых  f ' (x) = 0  или не существует)

4.  Выделить из критических точек и концов отрезка точки экстремума и исследовать их.

ПРИМЕР:

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

у = х²  с помощью  у'.

РЕШЕНИЕ:

Найдём производную и построим её график:

у' = 2х.

Приравняем производную к нулю и находим единственное решение:

у' = 0,

2х = 0,  х = 0.

х = 0 – единственная критическая точка.

Рассмотрим на графиках левый интервал производной и левый интервал функции.

Видим, что на интервале левее производная отрицательна.

Значит, функция убывает.

А на интервале правее производная положительна.

Значит, функция возрастает.

ОТВЕТ:

Функция  у = х² убывает в интервале 

х ∈ (–∞; 0],

возрастает в интервале 

х ∈ [0; +∞),

точка минимума  

х = 0.

Итак, мы исследовали функцию с помощью производной, но мы знали свойства этой функции, знали, где она возрастает, где убывает, и знали точку экстремума.

Видно, что результаты, которые получены с помощью производной, совпадают с результатами, найденными ранее.

Примеры решения задач с применением производной при исследовании функций.

ЗАДАЧА:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции:

f (x) = ln (5х + 4)

в точке с абсциссою  х₀ = 5.

РЕШЕНИЕ:

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссою  х₀:

k = f ' (х₀).

ОТВЕТ:  ⁵/₂₉

ЗАДАЧА:

Найдите наименьшее значение функции:

f (x) = 2х³ – 15х² + 24х + 3

на промежутку  [0; 2].

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдём производную этой функции:

f ' (x) = 6х² – 30х + 24.

Затем приравняем эту производную к нулю.

f ' (x) = 0.

В результате преобразования этого уравнения

6х² – 30х + 24 = 0,

6(х² – 5х + 4) = 0,

получим следующее уравнение:

х² – 5х + 4 = 0.

Решим это уравнение и найдём его корни:

х₁ = 1, х₂ = 4.

Значит, критическими точками этой функции будут точки  1  и  4.

Промежутку  [0; 2]  принадлежит только точка  х = 1.

Найдём значение функции на концах промежутка и в критичной точке:

f (0) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙0³ – 15∙0² + 24∙0 + 3 = 3.

f (0) = 3,

f (2) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙2³ – 15∙2² + 24∙2 + 3 =

16 – 60 + 48 + 3 = 7.

 f (2) = 7.

f (1) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙1³ – 15∙1² + 24∙1 + 3 =

2 – 15 + 24 + 3 = 14.

f (1) = 14,

и выберем среди них наименьшее:

f (0) = 3.

Поэтому:

ОТВЕТ:  3

ЗАДАЧА:

Найдите точку минимума функции:

f (x) = х² – ¹/₄ х⁴.

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдём производную этой функции:

f ' (x) = 2х – х³.

Затем приравняем её к нулю:

2х – х³ = 0.

Решаем это уравнение и находим корни:

х(2 – х²) = 0,

х₁ = 0,  х₂ = –√͞͞͞͞͞2,  х₃ = √͞͞͞͞͞2.

Разобьём точками

–√͞͞͞͞͞2,  0,  √͞͞͞͞͞2

область определения функции на промежутки и определим знак производной на каждом из них.

Для определения знака производной левее точки  –√͞͞͞͞͞2, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  –√͞͞͞͞͞2. Например  –2  и подставим его в производную:

f ' (x) = х(2 – х²) =.

= (–2)(2 – (–2)²) = (–2)(2 – 4) =

= (–2)(–2) = +4.

Получилось положительное число, значит знак производной на этом участке  положительный (смотрите рисунок).

На участке  (–√͞͞͞͞͞2; 0), знак производной отрицательный, так как подставляя в производную

f ' (x) = х(2 – х²) =

значение  х = –1, находящееся внутри этого промежутка, получаем:

= (–1)(2 – (–1)²) = (–1)(2 – 1) =

= (–1)(+1) = (–1).

На участке  (0; √͞͞͞͞͞2), знак производной положительный, так как подставляя в производную

f ' (x) = х(2 – х²) =

значение  х = 1, находящееся внутри этого промежутка, получаем:

= (+1)(2 – (+1)²) = (+1)(2 – 1) =

= (+1)(+1) = (+1).

На участке  (√͞͞͞͞͞2; +∞), знак производной отрицательный, так как подставляя в производную

f ' (x) = х(2 – х²) =

значение  х = +2, находящееся внутри этого промежутка, получаем:

= (+2)(2 – (+2)²) = (+2)(2 – 4) =

= (+2)(–2) = (–4).

Так как при переходе через точку  0  производная меняет свой знак с минуса на плюс, то в точке  0  функция будет иметь минимальное значение. Поэтому:

f_min = f(0) = 0.

ОТВЕТ:  0

ЗАДАЧА:

При каком значении  а  набольшее значение функции

f (x) = –х² + 2х + а

равно  3 ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём производную функции:

f ' (x) = –2х + 2.

Приравняем её к нулю и найдём  х:

f ' (x) = 0,

–2х + 2 = 0,  х = 1.

Определим знак производной на каждом из промежутков.

Для определения знака производной левее точки  1, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  1. Например, 0  и подставим его в производную функции:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) ∙ (0) + 2 = +2 ˃ 0.

Для определения знака производной правее точки  1, возьмём любое значение на числовой оси, которое больше  1. Например, 2  и подставим его в производную функции:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) ∙ (2) + 2 = –2 < 0.

Так как в точке  1  производная меняет свой знак с  <<+>>  на  <<–>>, то эта точка будет точкою максимуму. Поскольку

f_max (x) = 3, то

–(1)² + 2 ∙ 1 + а = 3.

Откуда,  а = 2.

ОТВЕТ:  2

ЗАДАЧА:

Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремумов функции:

f (x) = (2 – х) √͞͞͞͞͞x.

РЕШЕНИЕ:

Сначала определим область определения функции:

D(f) = [0; +∞).

Затем найдём производную функции и её критические точки:

Критическими точками будут лишь те, в которых

f ' (x) = 0.

Найдём их:

Разобьём область определения критической точкой  ²/₃  на промежутки. Определим знак производной на каждом из них.

Для определения знака производной левее точки  ²/₃, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  ²/₃. Например  ¹/₃  и подставим его в производную

Получилось положительное число, значит знак производной на этом участке  положительный (смотрите рисунок).
На участке  (²/₃; +∞), знак производной отрицательный, так как подставляя в производную число, большее чем  ²/₃, например  1, то получим число меньше нуля.

Функция  f (x)  возрастает на промежутках, на которых  f ' (x) ˃ 0  и убывает – на которых  f ' (x) < 0. Учитывая, что функция непрерывна в точке  ²/₃, получим промежуток убывания 

[²/₃; +∞),

возрастания –

[0; ²/₃].

Так как в точке  ²/₃  производная меняет свой знак с плюса на минус, то точка  ²/₃  является точкой максимуму:

ОТВЕТ:

Промежуток возрастания  [0; ²/₃],

Промежуток убывания  [²/₃; +∞),

ЗАДАЧА:

Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремумов функции:

РЕШЕНИЕ:

Сначала определим область определения функции:

D(f) = (–∞;–3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞).

Затем найдём производную функции и её критические точки:

Производная существует на всей области определения, поэтому критическими точками будут только те, в которых

f ' (x) = 0.

Найдём их:

–18х = 0,  х = 0.

Разобьём область определения критической точкой  0  на промежутки. Определим знак производной на каждом из них.

Для определения знака производной левее точки  –3, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  –3. Например,  –4  и подставим его в производную:

Для определения знака производной между точками  –3  и  0, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  0. Например,  –2  и подставим его в производную:

Для определения знака производной между точками  0  и  3, возьмём любое значение на числовой оси, которое меньше  3. Например,  2  и подставим его в производную:

Для определения знака производной правее точки  3, возьмём любое значение на числовой оси, которое больше  3. Например,  4  и подставим его в производную:

Функция  f (x)  возрастает на промежутках, на которых  f ' (x) ˃ 0  и убывает – на которых  f ' (x) < 0. Учитывая, что функция непрерывна в точке  0, получим промежутки возрастания 

(–∞; –3)  и  (–3; 0].

Убывания –

[0; –3)  и  (3; +∞).

Так как в точке  0  производная меняет свой знак с плюса на минус, то точка  0  будет точкой максимума:

f_max (x) = f(0) = 0.

ОТВЕТ:

Промежутки возрастания 

(–∞; –3)  и  (–3; 0],

Промежутки убывания 

[0; –3)  и  (3; +∞),

f_max (x) = 0.

ЗАДАЧА:

Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремумов функции:

РЕШЕНИЕ:

Сначала определим область определения функции:

D(f) = (–∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞).

Затем найдём производную функции и её критические точки:

Решив уравнение:

f ' (x) = 0,

находим, что функция имеет две критические точки:

х₁ = –1,  х₂ = 4.

Найдём знак производной методом интервалов:

Поэтому, функция возрастает на каждом из промежутков 

(–∞; –1]  и  [4; +∞),

убывает на каждом из промежутков 

[–1; 1,5)  и  (1,5; 4],

Функция имеет точку максимума 

x_max = –1

и точку минимума

x_min = 4.

ОТВЕТ:

Промежутки возрастания 

(–∞; –1]  и  [4; +∞)

Промежутки убывания 

[–1; 1,5)  и  (1,5; 4].

x_max = –1,

x_min = 4.

Задания к уроку 7

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Предел функции
• Урок 2. Определение производной функции
• Урок 3. Дифференцирование функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 6. Определённый интеграл
• Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач