Урок 3. Величини прямо пропорціональні

ВІДЕОУРОК

Пропорційні змінні.

Якщо для будь-якої пари відповідних значень змінних  х  і  у  відношення  ^у/_х дорівнює одному й тому ж числу, відмінному від нуля, то змінна у пропорційна змінній  х.

Насправді часто буває невідомо, як і залежності перебуває одна змінна з іншого. Щоб встановити, чи ця залежність є прямою пропорційністю, достатньо порівняти відносини їх відповідних значень.

ЗАДАЧА:

15 м  тканини коштують  120 грн  обчислити вартість цієї тканини для деяких інших кількостей метрів, зазначених у таблиці.

По цій таблиці ми можемо простежити, як поступово зростає вартість товару залежно від збільшення його кількості. У верхньому рядку таблиці стоять числа, що позначають число метрів тканини, під кожним з них написано число, що виражає вартість відповідної кількості товару. Навіть при швидкому огляді цієї таблиці і при порівнянні окремих стовпців виявляється, що в усіх випадках значення другої величини зростає в стільки ж разив, у скільки зростають значення першої, тобто якщо значення першої величини зросте, припустимо в  10  раз, то й значення другої величини збільшиться також у  10  раз. Якщо ми будемо переглядати таблицю справа наліво, то побачимо, що ці значення величин зменшуватимуться в однакове число разів.

ЗАДАЧА:

Лижник вийшов із села  В  і через  х  годин опинився на відстані  у км  від нього. Залежність у від  х  показана в таблиці:

Чи є ця залежність прямою пропорційністю ?

Для кожної пари значень  х  і  у  знайдемо відношення  ^у/_х.

Можна зробити висновок, що залежність у них близька до прямої пропорційності. Ставлення  ^у/_х  характеризує швидкість руху лижника. Практично можна сказати, що лижник йшов із постійною швидкістю.

Пари величин, з якими ми зустрілись, називаються прямо пропорціональними.

Якщо дві величини зв’язані між собою так, що із збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кільки разів значення другої збільшується (зменшується) у стільки ж разів, то такі величини називаються прямо пропорціональними.   

Про такі величини говорять також, що вони зв’язані між собою прямо пропорціональною залежністю. У природі і в навколишньому житті зустрічається багато таких величин.

ПРИКЛАД:

Час роботи (день, два дні, три дні і т. д.) і заробіток, одержаний за цей час при поденній оплаті праці.

Коефіцієнт пропорційності.

Нехай змінна  у  пропорційна змінній  х. За визначенням відношення  ^у/_х  для будь-якої пари відповідних значень дорівнює одному й тому ж числу, відмінному від нуля. Позначимо це число буквою  k:

Число  k  називають коефіцієнтом пропорційності.

У разі пропорційності однорідних величин відношення їх відповідних значень, отриманих при вимірі цих величин однією і тією самою одиницею, а значить коефіцієнт пропорційності, не залежить від того, якими є одиниці виміру. Якщо йдеться про пропорційності різнорідних величин, то відношення їх значень, отже, і коефіцієнт пропорційності, залежить від вибору одиниць виміру.

Якщо змінна  у  пропорційна змінній  х  і  k – коефіцієнт пропорційності, то залежність  у  від  х  виражається формулою:

де  k ≠ 0.

Справді, з рівності 

^у/_х = k 

випливає, що 

y = kx.

Навпаки, якщо залежність змінної у від змінної  х  виражається формулою  y = kx, де  k – не рівне нулю число, то відношення  ^у/_х  (при  х ≠ 0) постійно: ^у/_х = k, тобто змінна у пропорційна змінній  х.

Якщо змінна  у  пропорційна змінній  х  і коефіцієнт пропорційності дорівнює  k, то і змінна  х  пропорційна змінній  у, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює  ¹/_k.

Справді, якщо

^у/_х = k  (k ≠ 0),

то  ^x/_y = ¹/_k,                                                 

або  х = ¹/_k × у.

ПРИКЛАД:

Якщо   ^у/_х = 3, 

то  ^x/_y = ¹/₃,  або 

х = ¹/₃ × у.

Властивість прямо пропорціональних величин.

Ми вже знаємо, що коли дві величини прямо пропорціональні, то кожна з них у процесі своєї зміни збільшується в стільки ж разів, у скільки разів збільшується і друга. Звідси зразу виходить, що коли ми візьмемо відношення яких-небудь двох значень першої величини, то воно дорівнюватиме відношенню двох відповідних значень другої величини.

ПРИКЛАД:

6 : 2 = 3;

120 : 40 = 3.

Чому це так ? А тому, що ці величини прямо пропорціональні, тобто коли одна з них збільшилась у  20  разів, то й друга збільшилась у  20  разів.

Отже, ми прийшли до такого висновку: якщо взяти два яких-небудь значення першої величини і поділити їх одне на одне, а потім поділити одне на одне відповідні їм значення другої величини, то в обох випадках дістанемо одне й те саме число, тобто одне й те саме відношення. Значить, два відношення, які ми вище писали, можна сполучити знаком рівності, тобто:

6 : 2 = 120 : 40.

Немає сумніву в тому, що коли б ми взяли не ці відношення, а інші і не в тому порядку, а в оберненому, то також дістали б рівність відношень. Справді, розглядатимемо значення наших величин зліва направо:

2 : 6 = ¹/₃;

40 : 120 = ¹/₃.

Отже, ми можемо написати:

2 : 6 = 40 : 120.

Звідси випливає такий висновок.

Якщо дві величини прямо пропорціональні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Правильне і зворотне.

Якщо відношення двох довільних значень однієї змінної дорівнює відношенню відповідних значень іншої, то змінні є пропорційними.

Ця пропозиція виражає ознаку пропорційності змінних. У разі коли йдеться про залежність між змінними, значення яких виражаються позитивними числами, ознака пропорційності можна сформулювати так:

Якщо зі збільшенням (зменшенням) значення однієї змінної у кілька разів відповідні значення іншої збільшуються (зменшуються) у стільки ж разів, то змінні пропорційні.

Задачи на правило трьох.

Найчастіше трапляються арифметичні задачі на так зване просте правило трьох. У цих задачах дано три числа і треба визначити четверте, пропорційне до них.

ЗАДАЧА:

10  болтів важать  4 кг. Скільки важать  25  таких болтів ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

ПЕРШІЙ СПОСІБ (способом зведення до одиниці).

Скільки важить один болт ?

4 кг : 10 = 0,4 кг.

Скільки важать  25  болтів ?

0,4 кг × 25 = 10 кг.

ДРУГІЙ СПОСІБ (способом пропорцій)

Оскільки вага болтів прямо пропорційна до їх кількості, то відношення ваг дорівнює відношенню штук (болтів). Позначивши шукану вагу буквою  х, одержимо пропорцію:

х : 4 = 25 : 10.

Звідки:

Можна міркувати й так:

25  болтів більше за  10  у  2,5  раза, вони важчі за  4 кг  також у  2,5  раза:

4 × 2,5 = 10 (кг).

ВІДПОВІДЬ:

25  болтів важать  10 кг.

ЗАДАЧА:

12  кілограмів коксу замінюють  20 кілограмів кам'яного вугілля. Скільки кілограмів кам'яного вугілля замінять  210 кілограмів коксу ? Або: 12 кг  коксу так відносяться до  20 кг  вугілля, як  210 кг  коксу відносяться до  х кг  вугілля:

12 : 20 = 210 : х.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток середніх членів  20  та  210  розділити на крайній член  12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо  12 кг  коксу замінюють  20 кг  вугілля, то нехай  210 кг  коксу замінюють  х кг  вугілля. Складемо пропорцію:

12 кг    ––––  20 кг вугілля;

210 кг  ––––  х кг вугілля.

Або: 12 кг  коксу так відносяться до  20 кг  вугілля, як  210 кг  коксу відносяться до  х кг  вугілля:

12 : 20 = 210 : х.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток середніх членів  20  та  210  розділити на крайній член  12.               

Оскільки  х = 350 кг, отже, 350 кг  кам'яного вугілля замінять  210 кг  коксу.

ВІДПОВІДЬ:  350 кг

ЗАДАЧА:

Пекар за  8 годин випік  70 булочок. Скільки булочок він випече за  12 годин ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо  70 булочок пекар пече  8 годин, то нехай  х булочок він випече за  12 годин. Складемо пропорцію:

70 булочок ––––  8 годин;

х булочок    ––––  12 годин.

Або: 70 булочок так відносяться до  8 годин, як  х булочок відносяться до  12 годин:

70 : 8 = х : 12.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток крайніх членів  70  та  12  розділити на середній член  8.

Так як  х = 105, значить, 105 булочок пекар пече за  12 годин.

ВІДПОВІДЬ:  105 булочок

ЗАДАЧА:

За  8 годин трактор зорав  0,6 га. За скільки годин він зоре  4,2 га ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо за  8 годин трактор зорав  0,6 га, то за  х годин трактор зоре  4,2 га. Складемо пропорцію:

8 годин ––––  0,6 га;

х годин ––––  4,2 га.

Або: 8 годин так відносяться до  0,6 га, як  х годин відносяться до  4,2 га:

8 : 0,6 = х : 4,2.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток крайніх членів  8  та  4,2  розділити на середній член  0,6.

Так як  х = 56, значить, за  56 годин трактор зоре  4,2 гектара.

ВІДПОВІДЬ:  56 годин

ЗАДАЧА:

На  20 гектарах поля було посіяно  3,4 т вівса. Скільки зерна знадобиться для засіву  1980 гектарів поля ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо на  20 гектарах поля було посіяно  3,4 т  вівса, то х т  вівса треба щоб засіяти  1980 гектарів поля. Складемо пропорцію:

3,4 т ––––  20 га;

х т     ––––  1980 га.

Або: 3,4 т  відносяться до  20 га, як  х т  відносяться до  1980 га:

3,4 : 20 = х : 1980.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток крайніх членів  3,4  та  1980  поділити на середній член  20.

Так як  х = 336,6 т, значить, для засіву  1980 га  необхідно  336,6 т  вівса.

ВІДПОВІДЬ:  336,6 т

ЗАДАЧА:

Токар за  8 годин виготовив  70 деталей. Скільки деталей він виготовить за  12 годин ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо  70 деталей токар виготовить за  8 годин, то нехай  х деталей він виготовить за  12 годин. Складемо пропорцію:

70 деталей ––––  8 годин;

х деталей    ––––  12 годин.

Або: 70 деталей так відносяться до  8 годин, як  х деталей відносяться до  12 годин:

70 : 8 = х : 12.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти  х, потрібно добуток крайніх членів  70  та  12  розділити на середній член  8.

Так як  х = 105, значить, 105 деталей токар виготовить за  12 годин.

ВІДПОВІДЬ:  105 деталей

Завдання на складне потрійне правило.

Для вирішення багатьох типових завдань є спеціальні правила їх вирішення. Завдання на пряму та зворотну пропорційність, у яких за трьома значеннями двох величин потрібно знайти четверте, називаються завданнями на потрійне правило.

Якщо для трьох величин, було дано п'ять значень, і потрібно знайти шосте, правило називається п'ятірним. Аналогічно для чотирьох величин існувало семирічне правило.

Завдання, у яких у даному ряду відповідних один одному значень кількох (більше двох) пропорційних величин потрібно знайти значення однієї з них, відповідне іншому ряду даних значень інших величин, називають завданнями складне потрійне правило.

Складне потрійне правило застосовується під час вирішення завдань, у яких бере участь  n (n ˃ 2) величин

x₁, x₂,…, х_{n – 1}, х_n.

І тут у  n – 1  величин  x₁, x₂,…, х_{n – 1}  відомі по два значення  a₁, a₂, b₁, b₂, …, l₁, l₂, а у  х_n  відомо лише одне значення  k₁, інше – k₂  підлягає визначенню.

Практично складне потрійне правило є послідовне застосування простого потрійного правила.

Щоб отримати шукане число, досить дане значення тієї ж величини помножити послідовно на відносини даних значень інших величин, беручи відношення нового значення до колишнього, якщо величина прямо пропорційна тій, значення якої знаходиться, і колишнього значення до нового, коли величина обернено пропорційна тій, значення якої знаходиться.

ЗАДАЧА:

5  насосів протягом  3 год  викачали  1800  відер води. Скільки води викачують  4  такі насоси протягом  4 год ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 спосіб.

Спочатку знайдемо, скільки відер води викачав  1 насос протягом  3 год.

1800 : 5 = 360 (відер).

Потім знайдемо, скільки відер води викачав  1 насос протягом  1 години.

3600 : 3 = 120 (відер).

Тепер визначимо, скільки води викачують  4 насоси за  1 годину.

120 ∙ 4 = 480 (відер).

А тепер визначимо, скільки води викачують  4 насоси за  4 години.

480 ∙ 4 = 1920 (відер).

2 спосіб.

Складемо пропорцію:

5 нас. 3 час ----------  1800 від.

4 нас. 4 час ----------   х від.

Скорочене рішення за числовою формулою:

ЗАДАЧА:

За  18 робочих днів бригада лісорубів у складі  15 чоловік заготовила  972 м³  дров. Скільки дров заготовить  12 чоловік за  25 днів при такій самій продуктивності праці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 спосіб .

Зведення до одиниці.

Скільки кубометрів дров заготовила б  1 людина за  18 робочих днів ?

Скільки кубометрів дров заготовила б  1 людина за  1 робочий день ?

Скільки кубометрів дров заготовила б  12 чоловік за  1 день ?

Скільки кубометрів дров заготовить бригада з  12 чоловік за  25 днів при такій самій продуктивності праці ?

2 спосіб.

Цій спосіб пов’язаний із введенням людино-день і зведення до одиниці.

Скільки людино-днів затрачено, щоб заготовити  972 м³  дров ?

15 ∙ 18 = 270.

Скільки кубометрів заготовлених дров припаде на  1 людино-день ?

Скільки людино-днів витратить друга бригада за  25 днів ?

12 ∙ 25 = 300.

Скільки кубометрів дров заготовить бригада з  12 чоловік за  25 робочих днів при тій самій продуктивності праці ?

3 спосіб.

Цю задачу можна звести до задачі на просте правило трьох, яку можна розв’язати за допомогою пропорції. Це можна здійснити, розв’язавши заздалегідь перше і трете запитання з попереднього способу:

270  -----  972

300  -----  х,

4 спосіб.

Скорочений запис:

18  -----  15  -----  972

25  -----  12  -----  х

Розв’язування і пояснення.

х₁ = 972 м³

Якщо  15 чоловік працювали  18 днів.

Якщо ж працюватиме  18 днів  1 чоловік, то він виробить у  15 раз менше, тобто

Якщо цей самий період працюватиме  12 чоловіків, то буде вироблено в  12 раз більше:

Ми визначили, скільки кубометрів дров заготовлять  12 чоловіків за  18 днів. Якщо вони працюватимуть один день, то  х₄  буде в  18 раз менше, тобто

а якщо  25 днів, то в  25 раз більше, а саме:

Розв’язання  4 способом є найкоротшим і найоперативнішим.

Пояснення розв’язання  2 способом мало б такий вигляд:

Перша бригада на заготовлю  972 м³  дров затратила

15 ∙ 18 = 270  людино-днів.

Отже, на  1 людино-день припадає

Бригада в складі  12 чоловіків за  25 днів виробить

12 ∙ 25 = 300  людино-днів.

Значить, при тій самій продуктивності праці вона заготовить

Завдання до уроку 3

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3
• Завдання 4

Інші уроки:

• Урок 1. Відношення величин
• Урок 2. Пропорції
• Урок 4. Величини обернено пропорціональні
• Урок 5. Пропорціональний поділ
• Урок 6. Відсотки
• Урок 7. Знаходження процентів даного числа (задачі)
• Урок 8. Знаходження числа за його процентами (задачі)
• Урок 9. Знаходження процентного відношення двох чисел
• Урок 10. Прості та складні відсотки
• Урок 11. Задачі на час
• Урок 12. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею
• Урок 13. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою або різницею і відношенням
• Урок 14. Середнє арифметичне
• Урок 15. Середнє арифметичне (задачі)
• Урок 16. Масштаб на планах та картах
• Урок 17. Визначення відстані на місцевості
• Урок 18. Визначення відстані на карти або плані
• Урок 19. Задачі на зустрічний рух
• Урок 20. Задачі на рух в одному напрямі
• Урок 21. Задачі на рух у протилежних напрямках
• Урок 22. Задачі на рух по воді
• Урок 23. Задачі на спільну роботу