Урок 4. Величини обернено пропорціональні

среда, 13 апреля 2016 г.

Урок 4. Величини обернено пропорціональні

ВІДЕОУРОК

Якщо дві величини зв’язані між собою так, що із збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів значення другої зменшується (збільшується) у стільки ж разів, то такі величини називаються обернено пропорціональними.

У житті зустрічається багато таких величин.

Швидкість і час за однакової довжини шляху. Якщо швидкість зменшується, час збільшується, і якщо швидкість збільшується, той час зменшується.

Кількість робітників та час при визначенні обсягу робіт. За виконання однієї й тієї роботи, що менше працівників, тим більше потрібно часу, щоб виконати цю роботу і навпаки.

Довжина та ширина прямокутника при постійній площі прямокутника. Якщо площа прямокутника постійна, то при збільшенні довжини ширина зменшується і навпаки.

ПРИКЛАД:

Якщо на 15 грн, треба купити кілька кілограмів цукерок, то кількість цукерок залежатиме від ціни одного кілограма. Чим вища ціна, тим менше можна купити на ці гроші товару. Це видно з таблиці.

З підвищенням у кілька разів ціни цукерок зменшується в стільки ж разів число кілограмів цукерок, яке можна купити на 15 грн. у цьому випадку дві величини (вага товару і його ціна) обернено пропорціональні.

ПРИКЛАД:

Якщо відстань між двома містами 1200 км, то вона може бути пройдена в різний час залежно від швидкості пересування. Існують різні способи пересування: пішки, конем, велосипедом, пароплавом, автомобілем, поїздом, літаком. Чим менша швидкість, тем більше потрібно часу для пересування. Це видно з таблиці.

Із збільшенням швидкості в кілька разів час пересування зменшується в стільки ж разів. Отже, при даних умовах швидкість і час – величини обернено пропорціональні.

Властивість обернено пропорціональних величин.

Якщо дві величини обернено пропорціональні, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює оберненому відношенню відповідних значень другої величини.

Візьмемо приклад, який ми розглядали в попередньому параграфі. Там ми мали справу з двома величинами – швидкістю руху і часом. Якщо ми розглядатимемо по таблиці значення цих величин зліва направо, то побачимо, що значення першої величини (швидкості) зростають, а значення другої (часу) спадають, причому швидкість збільшується в стільки ж разів, у скільки разів зменшується час. Легко зміркувати, що коли написати відношення яких-небудь значень однієї величини, то воно не дорівнюватиме відношенню відповідних значень другої величини. Справді, якщо ми візьмемо відношення четвертого значення верхньої величини до сьомого значення (40 : 80), то воно не дорівнюватиме відношенню четвертого і сьомого значень нижньої величини (30 : 15). Це можна написати так:

40 : 80 не дорівнює 30 : 15, або

40 : 80 ≠ 30 : 15.

Але якщо замість одного з цих відношень взяти обернене, то дістанемо рівність, тобто з цих відношень можна буде скласти пропорцію.

ПРИКЛАД:

80 : 40 = 30 : 15

40 : 80 = 15 : 30.

Формула оберненої пропорціональності.

Для даної пари обернено пропорціональних величин добуток будь-якого значення однієї величини на відповідне значення другої величини є число стале (тобто таке, що не змінюється).

Беручи до уваги сказане, легко вивести формулу оберненої пропорціональності. Позначимо деяке значення однієї величини буквою х, а відповідно значення другої величини – буквою у. Тоді на підставі викладеного добуток х на у повинен дорівнювати деякій сталій величині, яку позначимо буквою К, тобто:

х × у = К.

у цій рівності х – множене, у – множник і К – добуток. За властивістю множення множник дорівнює добутку, поділеному на множене. Отже:

ЗАДАЧА:

Якщо 12 робітників виконують певну роботу за 3 дні, то за скільки днів цю ж роботу виконають 4 робітники, працюючи з однаковою продуктивністю ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тривалість роботи певного числа робітників і кількість робітників при однаковій продуктивності праці кожного робочого величини обернено пропорційні.

Чим більше робітників працює, тим менше часу знадобиться, щоб виконати роботу.

Чим менше робочих працює, тим більше часу знадобиться, щоб виконати роботу.

За визначенням пропорційних величин їх добуток постійний. Тоді знайдемо їхні добутки та прирівняємо їх.

Перша пара обернено пропорційних величин:

12 робітників виконують роботу за 3 дні.

Друга пара обернено пропорційних величин:

4 робітники виконують роботу за х днів.

Можемо записати:

12 ∙ 3 = 4 ∙ х.

Знайдемо х:

За 9 днів 4 робітники виконують цю роботу.

ВІДПОВІДЬ: 9 днів

ЗАДАЧА:

Бригада робітників із 5 осіб може пофарбувати приміщення за 6 днів. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи бригаді з 3 осіб ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Чим більше робітників працює, тим менше часу знадобиться, щоб виконати роботу.

Чим менше робочих працює, тим більше часу знадобиться, щоб виконати роботу.

За визначенням пропорційних величин їх добуток постійний. Тоді знайдемо їхні добутки та прирівняємо їх.

Перша пара обернено пропорційних величин:

5 осіб фарбують приміщення за 6 днів.

Друга пара обернено пропорційних величин:

3 людей фарбують приміщення за х днів.

Можемо записати:

5 ∙ 6 = 3 ∙ х.

Знайдемо х:

За 10 днів 3 особи пофарбують це приміщення.

ВІДПОВІДЬ: 10 днів

ЗАДАЧА:

4 сівалки можуть засіяти поле за 18 днів. За який час буде засіяно це поле, якщо працюватимуть три сівалки з тією ж продуктивністю ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тривалість роботи певного числа сівалок та число сівалок при однаковій продуктивності кожної сівалки, величини обернено пропорційні.

Чим більше сівалок працює, тим менше часу потрібно, щоб засіяти поле.

Чим менше сівалок працює, тим більше часу знадобиться, щоб засіяти поле.

За визначенням пропорційних величин їх добуток постійний. Тоді знайдемо їхні добутки та прирівняємо їх.

Перша пара обернено пропорційних величин:

4 сівалки засіюють поле за 18 днів.

Друга пара обернено пропорційних величин:

3 сівалки засіюють поле за х днів.

Можемо записати:

4 ∙ 18 = 3 ∙ х.

Знайдемо х:

За 24 дні 3 сівалки засіють поле.

ВІДПОВІДЬ: 24 дні

ЗАДАЧА:

Засипати котлован 3 бульдозери можуть за 20 днів. За скільки днів виконають цю роботу 5 бульдозерів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тривалість роботи певного числа бульдозерів та кількість бульдозерів при однаковій продуктивності кожного бульдозера, величини обернено пропорційні.

Чим більше бульдозерів працює, тим менше часу знадобиться, щоб засипати котлован.

Чим менше бульдозерів працює, тим більше часу знадобиться, щоб засипати котлован.

За визначенням пропорційних величин їх добуток постійний. Тоді знайдемо їхні добутки та прирівняємо їх.

Перша пара обернено пропорційних величин:

3 бульдозери засипають котлован за 20 днів.

Друга пара обернено пропорційних величин:

5 бульдозерів засипають котлован за 10 днів.

Можемо записати:

3 ∙ 20 = 5 ∙ х.

Знайдемо х:

За 12 днів 5 бульдозерів зможуть засипати котлован.

ВІДПОВІДЬ: 12 днів

ЗАДАЧА:

4 однакові труби заповнюють басейн водою за 56 хвилин. За скільки хвилин можна заповнити басейн водою за допомогою 7 таких труб ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як чим більше буде труб, тим менше часу знадобиться для заповнення басейну водою, то час заповнення басейну обернено пропорційно кількості труб.

За визначенням пропорційних величин їх добуток постійний. Тоді знайдемо їхні добутки та прирівняємо їх.

Перша пара обернено пропорційних величин:

4 однакові труби заповнюють басейн водою за 56 хвилин.

Друга пара обернено пропорційних величин:

7 однакових труб заповнюють басейн водою за х хвилин.

Можемо записати:

4 ∙ 56 = 7 ∙ х.

Знайдемо х:

7 труб заповнюють басейн за 32 хвилини.

ВІДПОВІДЬ: 32 хв

ЗАДАЧА:

Автор одного твору розрахував, що коли його книжка матиме звичайний формат, то в ній буде 96 сторінок, коли ж кишеньковий формат, то в ній буде 300 сторінок. Він випробував різні варіанти, почав с 96 сторінок і тоді у нього на сторінці вийшло 2500. Скільки буде букв на сторінці, якщо в книжці буде 100 сторінок ?

В усій книжці 240000 букв, бо:

2500 × 96 = 240000.

Беручи це до уваги, скористуємося формулою оберненої пропорціональності (у – число букв на сторінці, х – число сторінок), К = 240000, отже,

Отже на сторінці 2400 букв. Так само дізнаємося, що коли в книзі буде 120 сторінок, то число букв на сторінці буде:

ЗАДАЧА:

5 токарів можуть виконати деяку роботу за 16 днів. За скільки днів можуть виконати цю роботу 8 токарів ?

Через те що між числом робітників і робочим часом існує обернено пропорціональна залежність, то можна написати:

Позначимо шукану тривалість роботи буквою х і підставимо в пропорцію, виражену словами, необхідні числа:

Звідси:

Природа і життя дають нам багато прикладів прямої і оберненої пропорціональної залежності величин. Проте треба зауважити, що це два види залежності є тільки найпростішими. Поряд з ними зустрічаються інші, складніші залежності між величинами. Крім того, не треба думати, що коли які-небудь дві величини одночасно зростають, то між ними обов’язково є пряма пропорціональність. Це далеко не так.

ПРИКЛАД:

Плата за проїзд залізницею зростає залежно від відстані: чим далі ми їдемо, тим більше платимо, але це не значить, що плата пропорціональна відстані.

Завдання до уроку 4

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 13 апреля 2016 г.