Урок 10. Площадь равнобедренной трапеции

ВИДЕОУРОК

Площадь равнобедренной трапеции равна произведению полусуммы её основания на высоту.

где  а  и  b – основания,  h – высота трапеции.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти также по формулам:

S = c(a – c cos γ) sin γ; ⁡⁡

S = c(b + c cos γ) sin γ, ⁡⁡

где  а  и  b – основания трапеции, с – боковая сторона, γ – угол между боковой стороной и основанием.

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны  12 см  і  20 см, а центр описанной окружности принадлежит большему основанию. Найдите площадь трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Трапеция  АВСD  вписана в окружность так, что  АD – диаметр окружности.

АD = 20 см, ВС = 12 см.

Тогда

KD = AD – AK = 20 – 4

= 16 (см).

∠ ABD = 90⁰

(так как опирается на диаметр). Тогда по свойством пропорциональных отрезков прямоугольного треугольника:

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны  15 см  и  33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (ВС ∥ АD) – равнобедренная трапеция  (ВС ∥ АD).

ВЕ – её высота, АС – диагональ. Тогда

АD = 33 см, ВС = 15 см,

АЕ = (33 – 15) : 2 = 9 (см).

∠ DАС = ∠ САВ. АD ∥ ВС  і 

АС – секущая, поэтому  ∠ DАС = ∠ АСВ.

Кроме того,  ∠ DАС = ∠ САВ  по условию.

Поэтому  ∠ САВ = ∠ АСВ  и треугольник  АВС – равнобедренный. Отже,

АВ = ВС = 15 см.

Из прямоугольного треугольника  ВЕА (∠ Е =  90°)  имеем:

Найдём площадь трапеции:

S_тр. = ¹/₂ (АD + ВС) ∙ ВЕ =

= ¹/₂ (33 + 15) ∙ 12 = 288 (см²).

ОТВЕТ:  288 см²

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны  3 см  и  13 см, а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (АD ∥ ВС) – равнобедренная трапеция,

АD = 13 см, ВС = 3 см,

ВК – её высота,

ВD – биссектриса угла В, а значит.

∠1 = ∠2,  ∠2 = ∠3,

АD ∥ ВС  і  ВD – секущая. Поэтому,

∠1 = ∠3  і  АВ = АD = 13 см.

АК = (АD – ВС) : 2 = (13 – 3) : 2 = 5 (см).

Из прямоугольного треугольника  АКВ (∠ К = 90°)  имеем:

Найдём площадь трапеции.

ОТВЕТ:  96 см²

ЗАДАЧА:

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона точкою касания делится на отрезки длиною  16 см  и  9 см. Найдите площадь трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (АD ∥ ВС) – равнобедренная трапеция,

О – центр вписанной в трапецию окружности, Р, К, Е – точки касания окружности до сторон ВС, СD, АD  соответственно,

СК = 9 см, КD = 16 см,

СР = СК = 9 см

как касательные до окружности, проведенные из одной точки. Аналогично

ЕD = КD = 16 см.

Проведём  

СМ ⊥ АD,

ЕМ = РС = 9 см,

тогда  

МD = ЕD – ЕМ =

= 16 – 9 = 7 см.

Из  ∆СМD (∠ М = 90°):

АD = 2ЕD = 2 ∙ 16 = 32 (см),

ВС = 2РС = 2 ∙ 9 = 18 (см).

Поэтому,

ОТВЕТ:  600 см²

Задания к уроку 10

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения площади
• Урок 2. Площадь прямоугольника
• Урок 3. Площадь квадрата
• Урок 4. Площадь треугольника
• Урок 5. Площадь прямоугольного треугольника
• Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника
• Урок 7. Площадь параллелограмма
• Урок 8. Площадь ромба
• Урок 9. Площадь трапеции
• Урок 11. Площадь прямругольной трапеции
• Урок 12. Площадь круга и его частей
• Урок 13. Подобие разносторонних треугольников
• Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников
• Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников
• Урок 16. Площадь многоугольника