четверг, 28 марта 2019 г.

Урок 16. Площадь многоугольника

ВІДЕОУРОК

Площадь многоугольника – величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Площадь многоугольника – величина, которая имеет такие свойства:

–  площадь каждого многоугольника выражается положительным числом;
–  равные многоугольники имеют равные площади;
–  площадь многоугольника, состоящая из нескольких частей, равна сумме площадей всех этих частей;
–  за единицу площади принимается площадь единичного квадрата.

Единичный квадрат – это квадрат, сторона которого равна единицы длины. Две фигуры с равными площадями называются равновеликими. Две равные фигуры всегда равновеликие, но не каждые равновеликие фигуры равны.     

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).
ЗАДАЧА:

Стороны двух подобных правильных многоугольников относятся как  6 : 5, а разность их площадей равна  77 см2. Найдите площадь меньшего многоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим сторону меньшего многоугольника через  5х см, тогда сторона большого – 6х см, где  х – некоторое число. Тогда:
ОТВЕТ:  175 см2

Формула Пика.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна
N – количество внутренних точек,
G – количество пересечений узлов сетки на границах фигуры.

ПРИМЕР:

Найти площадь фигуры с помощью клеточек.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:

S = N + 1/2G – 1.

Сосчитаем количество внутренних точек  N, оно будет равно  15.

Сосчитаем количество внутренних точек пересечений узлов сетки на границах фигуры  G, оно будет равно  9.

Подставим эти значения в формулу и найдём площадь фигуры.

S = 15 + 9/2 – 1 = 18,5 кв. ед.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь фигуры с помощью клеточек.
РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:

S = N + 1/2G – 1.

Сосчитаем количество внутренних точек  N, оно будет равно  5.

Сосчитаем количество внутренних точек пересечений узлов сетки на границах фигуры  G, оно будет равно  10.

Подставим эти значения в формулу и найдём площадь фигуры.

S = 5 + 10/2 – 1 = 9 кв. ед.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь фигуры с помощью клеточек.
РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:

S = N + 1/2G – 1.

Сосчитаем количество внутренних точек  N, оно будет равно  4.

Сосчитаем количество внутренних точек пересечений узлов сетки на границах фигуры  G, оно будет равно  12.

Подставим эти значения в формулу и найдём площадь фигуры.

S = 4 + 12/2 – 1 = 9 кв. ед.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь фигуры с помощью клеточек.
РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:

S = N + 1/2G – 1.

Сосчитаем количество внутренних точек  N, оно будет равно  9.

Сосчитаем количество внутренних точек пересечений узлов сетки на границах фигуры  G, оно будет равно  4.

Подставим эти значения в формулу и найдём площадь фигуры.

S = 9 + 4/2 – 1 = 10 кв. ед.

Площадь четырёхугольника.

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность.
Площадь четырёхугольника, описанного вокруг окружности.
p – полупериметр,        
r – радиус вписанной окружности.

Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (дельтоида) равна половине произведения диагоналей.
ЗАДАЧА:

Площадь треугольника  АВС  равна  18 см2. На стороне  АВ  обозначили точки  К  и  D  так, что

АК = КD = DВ,

 а на стороне  АС – точки  F  и  Е  так, что

АF = FЕ = ЕС.

Найдите площадь четырёхугольника  DЕFК.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Треугольники  АВС, АDЕ  и  АКF  подобные, так как у них общий угол и пропорциональные стороны, которые образуют этот угол.

Пусть  АК = х, тогда

АD = 2х, АВ = 3х.

Пользуясь свойством площадей подобных треугольников, получим:

S∆AKF : S∆ABC = AK2 : AB2,

S∆AKF : 18 = x2 : (3x)2,
SDEFK = S∆ADE – S∆AKF =

= 8 – 2 = 6 (см2).

ОТВЕТ:  6 см2

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  медиана  АК  пересекает медиану  ВL  в точке  L. Найдите площадь треугольника  АВС, если площадь четырёхугольника  КСDL  равна  5.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Проведём третью медиану  СМ. Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников, тогда

S∆CDL = 1/2 SKCDL = 5/2,

S∆ABC = 6∙ S∆CDL = 15.

ОТВЕТ:  15

Площадь правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник состоит из  6  правильных треугольников.
Формула нахождения площади правильного шестиугольника будет выглядеть следующим образом.
где  а – сторона шестиугольника.

ЗАДАЧА:

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной  √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верна следующая формула:

S = p∙ r,

где  p – полупериметр,

r – радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной  а  равна:
а полупериметр равен  3а, тогда
ОТВЕТ:  1,5

ЗАДАЧА:

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен  √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно 

S = p∙ r,

где  p – полупериметр,

r – радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной  а  равна
полупериметр равен  3а, тогда
а = 2.
 ОТВЕТ:  2
Задания к уроку 16
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)