Урок 9. Площадь трапеции

воскресенье, 8 января 2017 г.

Урок 9. Площадь трапеции

ВИДЕОУРОК
Пусть ABCD – трапеция. Диагональ трапеции АС разбивает её на два треугольника: АВС и СDА. Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь треугольника АВС равна

¹/₂ × АВ × СЕ,

а площадь треугольника АСD равна

¹/₂ × DС × АF.

Высоты СЕ и АF этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми АВ и СD. Это расстояние называется высотою трапеции.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Или произведению средней линии на высоту:

где

средняя линия.

ЗАДАЧА:

AВСD – трапеция

BC = 5 см, AD = 6 см,

DК ⊥ AD, ВК = 4 см.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
РЕШЕНИЕ:

НD = 28 – 18 = 10 (см).

СН = НD = 10 (см).

ОТВЕТ: 230 см²

ЗАДАЧА:

Найти площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 см и 44 см, а непараллельные – 17 см і 25 см.

РЕШЕНИЕ:

В трапеции ABCD проведём DE ∥ BC.

AE = AB – CD

= 44 см – 16 см = 28 см;

DE = BC = 17 см.

Пусть DF – высота трапеции.

Из ∆ ADE определим:

ЗАДАЧА:

Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции – 25 см. Найдите высоту трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (ВС ∥ АD) – данная трапеция,
у которой АС ⊥ ВD и ВD = 48 см, средняя линия КN = 25 см. Проведем ВF ⊥ АD. ВF – высота трапеции. Проведём прямую параллельную АС из точки В до пересечения с АD. Получим отрезок МВ, при этом точка М принадлежит прямой DА.

МВ = АС, МА = ВС. Тогда

МD = АD + АМ = АD + ВС =

= 2КN = 50 см.

∠ МВD = ∠ АОD = 90°.

З ∆ МВD (∠ В = 90°):

Высота ВF трапеции будет и высотой треугольника МВD.

S_∆MBD = ¹/₂ MD ∙ BF =

= ¹/₂∙ 50∙ BF = 25BF (см²).

S_∆MBD = ¹/₂ MB ∙ BD =

= ¹/₂∙ 14∙ 48 = 336 (см²).

Получим:

25ВF = 336, откуда

BF = ³³⁶/₂₅ = 13,44 (см).

ОТВЕТ: 13,44 см

ЗАДАЧА:

Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые стороны – 13 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (ВС ∥ АD) – данная трапеция

АD = 36 см, ВС = 15 см,

АВ = 13 см, СD = 20 см.

Проведём (ВС ∥ АD), тогда четырёхугольник ВСDК по определению будет параллелограммом. Поэтому,

ВК = СD = 20 см,

КD = ВС = 15 см,

АК = АD – КD =

= 36 – 15 = 21 (см).

Найдём площадь треугольника АВК по формуле Герона:

где h – высота треугольника и трапеции.

¹/₂ ∙12∙ h = 126, h = 12 (см).

S_тр_. = ¹/₂ (36 + 15) ∙ 12 = 306 (см²).

ОТВЕТ: 306 см²

Задания к уроку 9

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 8 января 2017 г.