Урок 3. Показательные неравенства

Решение наипростейших показательных неравенств вида:

а^х > b  (або  а^х < b, де  а > 0  и  а ≠ 1)

основывается на свойствах функции 

у = а^х,

которая растёт при  а > 1 

и убывает при  0 < а < 1.

ПРИМЕР:

Чтобы найти решение неравенства

а^х > b, при  b > 0,

достаточно определить  b  в виде  b = а^с.

получаем неравенство:

а^х > а^с.

При  а > 1  функция  а^х  растёт, поэтому, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства  а^х > а^с   получим  х ˃ с  (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства  а^х > а^с).

При  0 < а < 1  функция  а^х  уменьшается, поэтому, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства  а^х > а^с  получим  х < с  (знак этого неравенства противоположный знаку неравенства  а^х > а^с).

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

5^х > 25.

Достаточно выразить это неравенство в виде

5^х > 5²,

Учитывая, что  5 > 1  (функция 5^х – возрастающая), поэтому, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется, и можно записать решение:

х > 2.

Обратите внимание, что решение заданного неравенства можно записать в виде  х > 2  или в виде промежутка  (2; ∞).

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Достаточно представить это неравенство в виде

Учитывая, что  ¹/₄ < 1  (функция

– убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства надо сменить на противоположный, и записать решение:

х < 2.

Учитывая, что при любых положительных значениях  а  значения  а^х  всегда больше нуля, получим, что при  b ≤ 0  неравенство  а^х < b  решений не имеет, а неравенство  а^х ˃ b  выполняется при всех действительных значениях  х.

ПРИМЕР:

Неравенство

7^х < –7

не имеет решений, а решением неравенства

7^х > –7

будут все действительные числа.

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Так как функция

y = (0,6)^t

будет убывающей, то

х² – 7х + 6 ≤ 0.

откуда

1 ≤  х ≤ 6

ОТВЕТ:

[1; 6]

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Замена

даст неравенство

которое равносильно неравенству

Поскольку  t ˃ 0, получим

t² – 8t – 9 ≤ 0.

Откуда  –1 ≤ t ≤ 9.

учитывая, что  t > 0, имеем

0 < t ≤ 9.

Выполняя обратную замену, получим

Тогда

Функция  y = 3^t – возрастающая, поэтому, 

√͞͞͞͞͞х  ≤ 2.

Учитывая  ОДЗ, получим:

0 ≤ х ≤ 4.

ОТВЕТ:  [0; 4]

Задания к уроку 3

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Показательная функция.
• Урок 2. Показательные уравнения
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмические вычисления
• Урок 6. Логарифмическая функция
• Урок 7. Логарифмические уравнения
• Урок 8. Логарифмические неравенства
• Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений