Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 19 ноября 2017 г.

Урок 3. Показательные неравенства

Решение наипростейших показательных неравенств вида:

ах > b  (або  ах < b, де  а > 0  и  а 1)

основывается на свойствах функции 

у = ах,

которая растёт при  а > 1 
и убывает при  0 < а < 1.

ПРИМЕР:

Чтобы найти решение неравенства

ах > b, при  > 0,

достаточно определить  b  в виде  b = ас.
получаем неравенство:

ах > ас.

При  а > 1  функция  ах  растёт, поэтому, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства  ах > ас   получим  х ˃ с  (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства  ах > ас).
При  0 < а < 1  функция  ах  уменьшается, поэтому, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства  ах > ас  получим  х < с  (знак этого неравенства противоположный знаку неравенства  ах > ас).

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

5х > 25.

Достаточно выразить это неравенство в виде

5х > 52,

Учитывая, что  5 > 1  (функция 5х – возрастающая), поэтому, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется, и можно записать решение:

х > 2.

Обратите внимание, что решение заданного неравенства можно записать в виде  х > 2  или в виде промежутка  (2; ).

ПРИМЕР:


Решите неравенство:
Достаточно представить это неравенство в виде
Учитывая, что  1/4 < 1  (функция
– убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства надо сменить на противоположный, и записать решение:

х < 2.

Учитывая, что при любых положительных значениях  а  значения  ах  всегда больше нуля, получим, что при  b ≤ 0  неравенство  ах < b  решений не имеет, а неравенство  ах ˃ b  выполняется при всех действительных значениях  х.

ПРИМЕР:

Неравенство

7х < –7

не имеет решений, а решением неравенства

7х > –7

будут все действительные числа.

ПРИМЕР:

Решите неравенство:
Так как функция

y = (0,6)t

будет убывающей, то

х27х + 6 ≤ 0.

откуда

1   х 6

ОТВЕТ:

[1; 6]

ПРИМЕР:

Решите неравенство:
Замена
даст неравенство
которое равносильно неравенству
Поскольку  t ˃ 0, получим

t2 8t – 9 ≤ 0.

Откуда  –1t ≤ 9.
учитывая, что  t > 0, имеем

0 < t ≤ 9.

Выполняя обратную замену, получим
Тогда
Функция  y = 3t – возрастающая, поэтому, 

√͞͞͞͞͞х  2.

Учитывая  ОДЗ, получим:

0 х4.

ОТВЕТ:  [0; 4]

Задания к уроку 3

Комментариев нет:

Отправить комментарий