Что такое показательное
уравнение ?
Это уравнение, в котором неизвестные (иксы)
и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней.
ПРИМЕР:
5х+2 = 125,
3х × 2х = 8х+3,
32х + 4 × 3х – 5 = 0.
Обратите внимание!
В основаниях степеней (внизу) – только числа. В показателях степеней (вверху) –
самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс
где-нибудь, кроме показателя, например:
2х = 3 + х,
Это будет уже
уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы
их пока рассматривать не будем. Мы будем разбираться с решением показательных
уравнений в чистом виде. Хотя даже чистые показательные уравнения чётко
решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных
уравнений, которые решать можно и нужно.
Решение простейших
показательных уравнений.
ПРИМЕР;
3х = 32.
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что
х =
2.
Никакое другое значение
х не подходит. Что
мы сделали ? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые
основания (тройки)
Действительно, если
в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно
степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.
Однако запомните:
убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания
находятся в гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов.
ПРИМЕР:
2х + 2х+1 = 23,
2 × 2х = 24.
Двойки убирать нельзя!
Для решения более
сложных уравнений надо приводить его к виду, когда слева и справа стоит одно и
то же число – основание, т. е. берём исходный пример и преобразовываем его к
нужному нам виду.
Решение простых показательных
уравнений.
При решении
показательных уравнений, главные правила – действия со степенями. Без знаний
этих действий ничего не получится. К действиям со степенями надо добавить
личную наблюдательность и смекалку.
Нам требуются
одинаковые числа – основания ? Вот и ищем их в примере в явном или
зашифрованном виде.
ПРИМЕР:
22х – 8х+1 = 0.
Первый взгляд на основания. Они разные. Два и восемь.
Самое время вспомнить, что
8 = 23.
Двойка и восьмёрка – родственники по степени. Вполне
можно записать:
8х+1 = (23)х+1.
Если вспомнить формулу из действий со степенями:
(аn)m =
anm,
то получается:
8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1).
Исходный пример стал выглядеть так:
22х – 23(х+1) = 0.
Перенесём 23(х+1)
вправо, получаем:
22х = 23(х+1).
Убираем основания:
2х = 3(х +1),
х =
–3.
В этом примере нас
выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку.
Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) – очень популярный
приём в показательных уравнениях. Надо уметь узнавать в числах степени других
чисел. Это крайне важно для показательных уравнений. Дело в том, что возвести
любое число в любую степень – не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и
всё. Например, возвести 3 в пятую степень
сможет каждый (243 получается, если таблицу умножения знаете).
Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а
наоборот узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243,
или скажем, 343.
Здесь никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых
чисел желательно знать наизусть:
2 = 21,
4 = 22,
4 = 22,
8 = 23,
16 = 24 = 42,
16 = 24 = 42,
27 = 33,
32 = 25,
32 = 25,
64 = 26
= 43 = 82,
81 = 34,
100 = 102,
100 = 102,
125 = 53,
128 = 27,
128 = 27,
216 = 63,
243 = 35,
243 = 35,
256 = 28
= 44,
343 = 73,
512 = 29
= 83,
625 = 54,
729 = 36
= 93,
1024 = 210
= 45.
При решении
показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за
скобки.
ПРИМЕР:
32х+4 = 11×9х = 210.
Первый взгляд – на
основания! Основания у степеней разные. Тройка и
девятка. А надо, чтобы были одинаковые. Делаем следующее:
9х = (32)х = 32х.
По тем же правилам действий со степенями:
32х+4 = 32х×34,
поэтому:
32х×34
– 11×32х = 210.
Мы привели пример к одинаковым основаниям.
Что в этом показательном уравнении можно сделать ?
Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения
всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно – делай, что можно!
В левой части прямо просится вынесение за скобки
множителя 32х.
32х (34 – 11) = 210.
Подсчитаем выражение в скобках:
34 – 11
= 81 – 11 = 70.
Тогда:
70×32х = 210.
Для ликвидации оснований нам необходима чистая степень,
без всяких коэффициентов, поэтому делим обе части уравнения на 70:
32х = 3,
32х = 31,
2х = 1,
х =
0,5.
Случается, что
выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация – никак.
Такое бывает в показательных уравнениях другого типа.
Замена переменной в решении
показательных уравнений.
ПРИМЕР:
4х – 3×2х + 2 = 0.
Сначала переходим к одному основанию. К двойке.
4х = (22)х = 22х.
Получим уравнение:
22х – 3×2х + 2 = 0.
Предыдущие приёмы не сработают. Поэтому есть ещё один
универсальный способ. Называется он замена переменной. Суть способа проста.
Вместо одного сложного значка (в нашем случае – 2х) пишем другой (например t).
Пусть:
2х = t,
Тогда
22х = 2х2 = (2х)2
= t2.
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
t2 – 3×t + 2 = 0.
Решаем квадратное уравнение, получаем:
t1 = 2,
t2 = 1.
t1 = 2 = 2х,
2х = 2,
х1 = 1.
t2 = 1 = 2х,
2х = 10,
х2 = 0.
Практические советы:
– Первым делом смотрите на основания степеней.
Пробуйте, нельзя ли их сделать одинаковыми. Надо это делать, активно используя
действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в
степени.
– Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используйте действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах – считаем.
– Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используйте действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах – считаем.
– Если предыдущий
совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может
получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего квадратное. Или
дробное, которое тоже сводится к квадратном.
– Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать в ”лицо”.
– Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать в ”лицо”.
Формулы, которые помогут вам
решить показательные уравнения.
Задания к уроку 2
Другие уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий