Урок 4. Логарифм числа

Логарифмом числа  N  по основанию  а (где  а ˃ 0, а ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести  а, чтобы получить число  N.

Обозначение:

log_a N = x.

Таким образом, по определению, если 

х = log_a N, то  а^х = N,

или

Основание считают положительным и таким, что не равное единицы.

Формулу

называют основным логарифмическим тождеством.

ПРИМЕР:

log₂ 8 = 3, или  2³ = 8,

log₂ 0,25 = –2, или  2^-2 = 0,25.

Свойства логарифмов.

– любое положительное число при любом основании имеет один логарифм;

– при любом (положительном) основании отрицательные числа не имеют логарифмов;

– при любом основании логарифм единицы равен нулю;

– логарифм самого основания равен единицы;

 – при основании, большем единицы, большему числу соответствует и больший логарифм, при этом логарифмы чисел, больших единице, положительные, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательные;

– при основании, меньше единицы, большему числу соответствует меньший логарифм, при этом логарифмы чисел, меньших единицы, положительные, а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательные;

– если основание логарифмов больше единицы, то при бесконечном росте числа бесконечно растёт и его логарифм, а при приближении положительного числа до нуля его логарифм, оставаясь отрицательным, бесконечно растёт по абсолютной величине;

 – если основание логарифма меньше единицы, то при бесконечном росте числа его логарифм, оставаясь отрицательным, бесконечно уменьшается, а при приближении положительного числа до нуля его логарифм бесконечно растёт.

Решение примеров с использованием свойств логарифмов.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти какое число имеет логарифм  2  при основании  7.

2 = log₇ х,  х = 7² = 49.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти логарифм  125  за основанием  5.

х = log₅ 125,  5^х = 125, 

х = 3.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти при каком основании логарифм числа  16  равен  4.

4 = log_х 16,  х⁴ = 16, 

х = 2.

ПРИМЕР:

Исходя из тождества  х = log_a N, найти:

ПРИМЕР:

Что больше ?

log_а 2  или

log_а 3.

Если  а ˃ 1, то большему числу соответствует и больший логарифм, то есть

log_а 2 < log_а 3.

Если  а < 1, то большему числу соответствует меньший логарифм, то есть

log_а 2 ˃ log_а 3.

Тут принято, что  а ˃ 0, а ≠ 1.

Знаком  lg  без обозначения основания обозначается десятичный логарифм, то есть логарифм при основании  10.

Рассмотрим более подробно, как переходить от десятичных логарифмов до натуральных и наоборот.

Чтобы по известному десятичному логарифму числа  N  найти его натуральный логарифм, необходимо поделить десятичный логарифм числа  N  на десятичный логарифм числа  е  (последний равен  0,4343…). 

Число  lg e = 0,4343…  называется модулем десятичных логарифмов и обозначается буквою  М  так, что

ПРИКЛАД:

Из таблиц десятичных логарифмов имеем 

lg 2 = 0,3010.

Откуда

Чтобы  по известным натуральным логарифмом числа найти его десятичный, нужно умножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов  М = lg е:

lg N = lg е × ln N =

М × ln N = 0,4343 ln N

ПРИМЕР:

ln 3 = 1,0986, а отсюда 

lg 3 = М × 1,0986 = 0,4771.

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Показательная функция.
• Урок 2. Показательные уравнения
• Урок 3. Показательные неравенства
• Урок 5. Логарифмические вычисления
• Урок 6. Логарифмическая функция
• Урок 7. Логарифмические уравнения
• Урок 8. Логарифмические неравенства
• Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений