Урок 8. Логарифмические неравенства

Функция растёт.

Функция убывает.

Наипростейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства вида

log_а х > b  или  log_а х < b.

Первое из них имеет множество решений:

х > a^b  при  а > 1,

0 < х < a^b  при  0 < а < 1.

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

log₂ (х –5) > 3.

ОДЗ:  х – 5 > 0, то есть  х > 5.

log₂ (х –5) > log₂ 2³.

Функция  log₂ t  будет возрастающей, поэтому,

х – 5 > 2³, х > 13.

Учитывая  ОДЗ, имеем 

х > 13.

ОТВЕТ:

(13; +∞).

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

ОТВЕТ:

(5; 5¹/₈).

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

log_0,5 х ≥ 3.

Потенцируя исходное неравенство, имеем:

х ≤ 0,5³,  0 < х ≤ 0,125.

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Выполнив сложение в левой части, получим:

Откуда

0 < lg х(1 – lg х) < 1.

Как видим, решение  х  должно удовлетворять двум неравенствам:

lg² х – lg х + 1 > 0  і

lg х(1 – lg х) > 0.

Первое – любое положительное значение  х, потому что дискриминант трёхчлена в его левой части отрицательный. Второе удовлетворяют значения  х, при которых

0 < lg х < 1, то есть

0 < х < 10.

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Показательная функция.
• Урок 2. Показательные уравнения
• Урок 3. Показательные неравенства
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмические вычисления
• Урок 6. Логарифмическая функция
• Урок 7. Логарифмические уравнения
• Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений