Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 18 декабря 2017 г.

Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений

При решении системы, которая содержит показательные и логарифмические уравнения, используют приёмы решения систем (способ подстановки, способ сложения, замену переменных) и методы решения показательных и логарифмических уравнений.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
Из первого уравнения системы

у = 1 – х.

Тогда из второго уравнения получим

4х + 41-х = 5,

то есть
Замена  4х = t  даст уравнение
из которого получим уравнение

t2 – 5t + 4 = 0,

которое  имеет корни:

t1 = 1, t2 = 4.

Обратная замена даст  4х = 1,
тогда  x1 = 0  или  4х = 4, откуда  x2 = 1.
Находим соответствующие значения

у = 1 – х:

если  x1 = 0, то  у1 = 1;
если  x2 = 1, то  у2 = 0.

ОТВЕТ:

(0; 1), (1; 0)

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
Замена
даст систему
Из второго уравнения этой системы имеем

u = 2 + v.

Тогда из первого уравнения получим

(2 + v)2v2 = 16.

Откуда  v = 3, тогда  u = 5.
Обратная замена даёт
откуда, у = 2;
откуда, х = 2;

ОТВЕТ:

(2; 2).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
По определению логарифма имеем:
Из второго уравнения последней системы получим

у = х + 3

и вставляем его в первое уравнение:

х(х + 3) = 4,
х2 + 3х – 4 = 0,
х1 = 1, х2 = –4.

Тогда

у1 = 4, у2 = –1.
решение данной системы.

ПРОВЕРКА:
неправильное решение (под знаком логарифма получим отрицательные числа).

ОТВЕТ:

 (1; 4).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
ОДЗ:
Тогда из первого уравнения имеем:
Замена  t = logхy  даст уравнение
t2 – 2t + 1 = 0, t = 1.

Обратная замена даст

logх y = 1,

то есть  у = х.
Тогда из второго уравнения системы имеем:

х2х – 20 = 0,
х1 = –4  (не входит до  ОДЗ),
х2 = 5  (входит до  ОДЗ).

Поэтому, решение заданной системы:

х = 5, у = 5.

ОТВЕТ:

(5; 5).

Задания к уроку 9

Комментариев нет:

Отправить комментарий