Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений

понедельник, 18 декабря 2017 г.

Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений

При решении системы, которая содержит показательные и логарифмические уравнения, используют приёмы решения систем (способ подстановки, способ сложения, замену переменных) и методы решения показательных и логарифмических уравнений.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Из первого уравнения системы

у = 1 – х.

Тогда из второго уравнения получим

4^х + 4^1-х = 5,

то есть

Замена 4^х = t даст уравнение

из которого получим уравнение

t² – 5t + 4 = 0,

которое имеет корни:

t₁ = 1, t₂ = 4.

Обратная замена даст 4^х = 1,

тогда x₁ = 0 или 4^х = 4, откуда x₂ = 1.

Находим соответствующие значения

у = 1 – х:

если x₁ = 0, то у₁ = 1;

если x₂ = 1, то у₂ = 0.

ОТВЕТ:

(0; 1), (1; 0)

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Замена

даст систему

Из второго уравнения этой системы имеем

u = 2 + v.

Тогда из первого уравнения получим

(2 + v)² – v² = 16.

Откуда v = 3, тогда u = 5.

Обратная замена даёт

откуда, у = 2;

откуда, х = 2;

ОТВЕТ:

(2; 2).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

По определению логарифма имеем:

Из второго уравнения последней системы получим

у = х + 3

и вставляем его в первое уравнение:

х(х + 3) = 4,

х² + 3х – 4 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –4.

Тогда

у₁ = 4, у₂ = –1.

– решение данной системы.

ПРОВЕРКА:

– неправильное решение (под знаком логарифма получим отрицательные числа).

ОТВЕТ:

(1; 4).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

ОДЗ:

Тогда из первого уравнения имеем:

Замена t = log_хy даст уравнение

t² – 2t + 1 = 0, t = 1.

Обратная замена даст

log_хy = 1,

то есть у = х.

Тогда из второго уравнения системы имеем:

х² – х – 20 = 0,

х₁ = –4 (не входит до ОДЗ),

х₂ = 5 (входит до ОДЗ).

Поэтому, решение заданной системы:

х = 5, у = 5.

ОТВЕТ:

(5; 5).

Задания к уроку 9

Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий