Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 15 февраля 2018 г.

Урок 10. Об'єм правильної піраміди

Об'єм правильної піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту.
де  S – площа основи, а  Н – висота піраміди.

Правильна чотирикутна піраміда.

V = 1/3 a2h
Правильна трикутна піраміда.
Правильна шестикутна піраміда.
ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює  6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут  45°. Знайдіть об'єм піраміди.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Нехай  QABC – задана в умові піраміда, ∆ АВС – правильний, 

 ВС = 6 см, 

 QК – висота піраміди, 

 ∠ QВК = 45°.
Площа основи:
де  а = ВС = 6 см – сторона основи. Маємо
Оскільки  К – центр трикутника, то  КВ = R – радіус кола, описаного навколо основи:
В  ∆ QKB (∠ K = 90°, 
∠ QBK = 45°),
∠ KQB = 
180° – (90° + 45°) = 45°.

Тому  ∆ QKB – рівнобедрений і  

 QK = КВ = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

 Об'єм піраміди:

ЗАДАЧА:

Через сторону основи правильної трикутної піраміді і середину висоти проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  α. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює  Н.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай  SABC – задана правильна піраміда,
SО – висота, де  О – точка перетину медіан рівностороннього трикутника  АВС, SО = Н. Площина  SСО  перетинає бічну грань  АВS  по прямій  КS. Тоді  К – середина сторони  АВ  і  Р – середина висоти  SО  належать площині  СSК. Проведемо пряму  КР, яка перетинається з ребром  SС  у точці  F. АFВ – заданий переріз. Оскільки піраміда правильна, то трикутник  АFВ – рівнобедрений (АF = ВF  як відповідні сторони рівних трикутників  АSF  і  ВSF). Відрізок  КО – проекція відрізка  КР  на площину основи. Тоді  ∠ PKO – кут між площиною основи і площиною  АFВ. За умовою, ∠ PKO = α.  

З  ∆ POK (∠ O = 90°):

KO = PO ctg ∠ K = 1/2 H ctg α.

З  ∆ AOK (∠ K = 90°):

AK = KO ctg 30° = 1/2 H ctg α ∙ √͞͞͞͞͞3.

AB = 2AK = √͞͞͞͞͞3 H ctg α.
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 10
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий