Урок 18. Правильні багатогранники

Багатогранник називають правильним, якщо в нього всі грані є правильними  багатокутниками і в кожній вершині сходиться одне й те саме число ребер.

Правильні багатогранники мають правильну сітку, тобто всі їх грані мають однакове число сторін, а з кожної вершини виходить однакове число ребер. Доведено, що існує тільки п'ять правильних сіток, отже, і п'ять правильних опуклих багатогранники.

Сума чисел граней і вершин опуклого багатогранника на два більша за число його ребер:

В + Г = Р + 2,

де  В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер багатогранника.  

Тетраедр (правильний чотиригранник), гранями якого є правильні трикутники. Тетраедр має  4  грані, 6  ребер і  4  вершини, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка тетраедра.

Властивості тетраєдра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Гексаедр (правильний шестигранник – куб), гранями якого є правильні чотирикутники. Гексаедр має  6  граней, 12  ребер і  8  вершин, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка гексаедра.

Властивості гексаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Октаедр (правильний восьмигранник), гранями якого є правильні трикутники. Октаедр має  8  граней, 12  ребер і  6  вершин, в кожній з яких сходяться по  4  ребра.

Розгортка октаедра.

Властивості октаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Додекаедр (правильний дванадцятигранник), гранями якого є правильні п'ятикутники. Додекаедр має  4  граней, 30  ребер і  20  вершин, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка додекаедра.

Властивості додекаедра і співвідношення між його злементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

Ікосаедр (правильний двадцятигранник), гранями якого є правильні трикутники. Ікосаедр має  20  граней, 30  ребер і  12  вершин, в кожній з яких сходяться по  5  ребер.

Розгортка ікосаедра.

Властивості ікосаедра і співвідношення між його елементами.

Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число ребер (сторін) у кожній грані;

N₃ – число ребер у кожній вершині;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – загальна кількість ребер;

S – площа поверхні;

V – об'єм;

R – радіус описаної кулі;

r – радіус вписаної кулі.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраедра дорівнює  а. Визначити об'єм тетраедра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Об'єм тетраедра (як і будь-якої піраміди) обчислюють за формулою:

де – S_OC = S_ABC – площа основи (трикутника  АВС),

H = DO – висота тетраедра.

Тетраедр  АВСD – трикутна піраміда, всі ребра якої рівні і дорівнюють  а.

Тому в основі лежить правильний (рівносторонній) трикутник зі стороною  а. Звідси площу основи знаходимо за формулою для рівностороннього трикутника:

Оскільки тетраедр – правильна трикутна піраміда, то висота  DO  проектується в центр описаного навколо трикутника  АВС  кола, радіус якого рівний:

Висота тетраедра  DO  перпендикулярна до площини основи (трикутника  АВС), тому вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в площині основи. Звідси  DO ⊥ AO, тому трикутник  АOD (∠ AOD = 90°) – прямокутний.

В ньому відома  AD = a – гіпотенуза (довжина ребра тетраедра) і

За теоремою Пифагора обчислимо катет  DO – висоту тетраедра:

DO² = AD² – AO²,

звідси

Об’єм тетраедра:

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 18

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об'ємові
• Урок 2. Об'єм прямий призми
• Урок 3. Об'єм похилої призми
• Урок 4. Об'єм правильної призми
• Урок 5. Об'єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об'єм куба
• Урок 9. Об'єм піраміди
• Урок 10. Об'єм правильної піраміди
• Урок 11. Об'єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об'єм циліндра
• Урок 13. Об'єм конуса
• Урок 14. Об'єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об'єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 19. Об'єм подібних тіл