Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 18 февраля 2018 г.

Урок 18. Правильні багатогранники

Багатогранник називають правильним, якщо в нього всі грані є правильними  багатокутниками і в кожній вершині сходиться одне й те саме число ребер.

Правильні багатогранники мають правильну сітку, тобто всі їх грані мають однакове число сторін, а з кожної вершини виходить однакове число ребер. Доведено, що існує тільки п'ять правильних сіток, отже, і п'ять правильних опуклих багатогранники.
Сума чисел граней і вершин опуклого багатогранника на два більша за число його ребер:

В + Г = Р + 2,

де  В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер багатогранника.  

Тетраедр (правильний чотиригранник), гранями якого є правильні трикутники. Тетраедр має  4  грані, 6  ребер і  4  вершини, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка тетраедра.
Властивості тетраєдра і співвідношення між його злементами.
Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число ребер (сторін) у кожній грані;
N3 – число ребер у кожній вершині;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – загальна кількість ребер;
S – площа поверхні;
V – об'єм;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус вписаної кулі.

Гексаедр (правильний шестигранник – куб), гранями якого є правильні чотирикутники. Гексаедр має  6  граней, 12  ребер і  8  вершин, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка гексаедра.
Властивості гексаедра і співвідношення між його злементами.
Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число ребер (сторін) у кожній грані;
N3 – число ребер у кожній вершині;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – загальна кількість ребер;
S – площа поверхні;
V – об'єм;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус вписаної кулі.

Октаедр (правильний восьмигранник), гранями якого є правильні трикутники. Октаедр має  8  граней, 12  ребер і  6  вершин, в кожній з яких сходяться по  4  ребра.

Розгортка октаедра.
Властивості октаедра і співвідношення між його злементами.
Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число ребер (сторін) у кожній грані;
N3 – число ребер у кожній вершині;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – загальна кількість ребер;
S – площа поверхні;
V – об'єм;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус вписаної кулі.

Додекаедр (правильний дванадцятигранник), гранями якого є правильні п'ятикутники. Додекаедр має  4  граней, 30  ребер і  20  вершин, в кожній з яких сходяться по  3  ребра.

Розгортка додекаедра.
Властивості додекаедра і співвідношення між його злементами.
Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число ребер (сторін) у кожній грані;
N3 – число ребер у кожній вершині;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – загальна кількість ребер;
S – площа поверхні;
V – об'єм;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус вписаної кулі.

Ікосаедр (правильний двадцятигранник), гранями якого є правильні трикутники. Ікосаедр має  20  граней, 30  ребер і  12  вершин, в кожній з яких сходяться по  5  ребер.

Розгортка ікосаедра.
Властивості ікосаедра і співвідношення між його елементами.
Умовні позначення:

а – ребро багатогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число ребер (сторін) у кожній грані;
N3 – число ребер у кожній вершині;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – загальна кількість ребер;
S – площа поверхні;
V – об'єм;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус вписаної кулі.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраедра дорівнює  а. Визначити об'єм тетраедра.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Об'єм тетраедра (як і будь-якої піраміди) обчислюють за формулою:
де – SOC = SABCплоща основи (трикутника  АВС),
H = DO – висота тетраедра.
Тетраедр  АВСD – трикутна піраміда, всі ребра якої рівні і дорівнюють  а.
Тому в основі лежить правильний (рівносторонній) трикутник зі стороною  а. Звідси площу основи знаходимо за формулою для рівностороннього трикутника:
Оскільки тетраедр – правильна трикутна піраміда, то висота  DO  проектується в центр описаного навколо трикутника  АВС  кола, радіус якого рівний:
Висота тетраедра  DO  перпендикулярна до площини основи (трикутника  АВС), тому вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в площині основи. Звідси  DO AO, тому трикутник  АOD ( AOD = 90°) – прямокутний.
В ньому відома  AD = a – гіпотенуза (довжина ребра тетраедра) і
За теоремою Пифагора обчислимо катет  DO – висоту тетраедра:
DO2 = AD2AO2,
звідси
Об’єм тетраедра:
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 18
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий