Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 25 февраля 2018 г.

Урок 16. Тіла обертання

Тілом обертання у найпростішому випадку називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої – осі обертання, перетинається по кругах з центрами, що лежать на цій прямої.

Конус можна одержати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Катет  SO, навколо якого відбувається обертання, називається віссю конуса, а гіпотенуза є твірною конуса. Крім того, катет  ОD  дорівнює радіусу основи конуса, а катет  SO  дорівнює його висоті:

                            

 R = ОD,  Н = SO.

Круговий циліндр, конус, куля – приклади тіл обертання.

Конус можна одержати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Катет  SO, навколо якого відбувається обертання, називається віссю конуса, а гіпотенуза є твірною конуса. Крім того, катет  ОD  дорівнює радіусу основи конуса, а катет  SO  дорівнює його висоті:
R = ОD,  Н = SO

Знайдемо формулу для обчислення об'єму будь-якого тіла обертання.

Проведемо площину через вісь тіла й уведемо в цій площині декартові координати  х, у  прийнявши вісь тіла за вісь  х. Площина  ху  перетинає поверхню тіла по лінії, для якої вісь  х  є віссю симетрії.
Нехай  у = (х) – рівняння тієї частини цієї лінії, яка розташована над віссю  х. Проведемо через точку  (х,0)  площину, яка перпендикулярна осі  х, і позначимо через  V(x)  об'єм частини тіла, що лежить ліворуч від цієї площини, V(x)  є функцією від  х. Різниця

V(x+h) – V(x)   

представляє собою об'єм прошарку тіла товщиною  h, заключного між двома площинами, які перпендикулярні осі  х  і проходять через точки з абсцисами  х  і  х+h. Нехай  М – найбільше, а  m – найменше значення функції  f(х)  на відрізку  [x, x+h]. Тоді розглянутий прошарок тіла містить циліндром із радіусом  m  і висотою  h  і міститься в циліндрі з радіусом  М  і тією же висотою  h. Тому
При прагненні висоти  h  до нуля ліва й права частини останньої нерівності прагнуть до однієї й тієї же величини  πf 2(x). Середня ж частина цієї нерівності при прагненні  h  до  0  прагне до похідної  V1(x)  функції  V(x). Виходить,

V1(x) = πf 2(x).

По відомій формулі аналізу
Ця формула й дає об'єм частини тіла, заключної між паралельними площинами  х = а  й  х = b.

Формула Сімпсона.

Якщо площа перерізу  S(x)  тіла  Т  площиною перпендикулярною до осі  Ох, як функція  х  має вигляд 

S(x) = αx2 + βx + γ,

то об'єм такого тіла, що міститься між площинами  

х = а  і  х = b,

дорівнює:
Позначимо площі перерізів:

Sнижн осн S(a) = αа2 + βa + γ,
Sверхн осн S(b) = αb2 + βb + γ,
Тоді отриманий раніше вираз для обчислення об'єму тіла  Т  можна представити у вигляді:
Цю формулу називають формулою Сімпсона.
За допомогою формули Симпсона легко отримати вирази для обчислення об'ємів тіл, перерізи яких площиною, перпендикулярною до осі  Ох, можна представити у вигляді:

S(х) = αх2 + βх + γ.

Зокрема, це об'єми кулі, піраміди, конуса, бо відповідні перерізи цих тіл задовольняють вказану умову.

ПРИКЛАД:

Для кулі радіуса  R  маємо:

a = –R,  b = R,  
S(a) = S(b) = 0,  
Sc = πR2,
ПРИКЛАД:

У випадку піраміди:

a = 0,  b = H,  
S(a) = S0,  
Sc = (1/2)2S0,
За допомогою формули Симпсона зручно розв'язувати задачі на обчислення об'ємів частин тіл, що обмежені паралельними перерізами.

ПРИКЛАД:

У випадку зрізаного конуса (з радіусами основ  R  та  r, висотою  h) маємо:

a = 0, b = h,  
S(a) = πR2,  
S(b) = πr2,
Зауважимо, що при обчисленні  Sc, ми скористалися тим, що осьовим перерізом зрізаного конуса є трапеція, середня лінія якої дорівнює діаметру перерізу цього конуса площиною 
ЗАДАЧА:

Прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють  а  і  b, обертається навколо прямої, що проходить через вершину прямого кута паралельно до гіпотенузи. Знайти поверхню тіла обертання.
Прямокутний  ABC ( C = 90°)  обертається навколо прямої  

OO1 AB

Точка  С  лежить на прямій  OO1. Знайти поверхню тіла обертання, якщо  

АС = b  і  ВС = а.

Поверхня тіла обертання буде складатися з бічної поверхні циліндра  ABDE  і бічних поверхонь конусів  ACE  і  BCD. Твірну циліндра знайдемо з даного трикутника:
а радіуси основ конусів і циліндрів, які рівні між собою, визначимо з  ABC:

CF × AB = AC × CB.

Позначивши  CF  через  R, знайдемо
Тоді поверхня тіла обертання
ВІДПОВІДЬ:
Зрізаний конус може бути утворений обертанням прямокутної трапеції навколо бічної сторони, перпендикулярної до її основ.
Сторона  ОО1, навколо якої обертається трапеція, називається віссю зрізаного конуса, а друга бічна сторона  АВ  трапеції – твірною зрізаного конуса. Основи трапеції є відповідно радіусами нижньої і верхньої основ зрізаного конуса:

ОА = R,  ВО1 = r.

Поверхню, утворену обертанням більшої сторони  АА1  трапеції  ОО1А1А  називають бічною поверхнею зрізаного конуса.
Кожний відрізок цієї поверхні (а також його довжину), який сполучає найближчі точки кіл основ зрізаного конуса, називають твірними зрізаного конуса. АА1  і  ВВ1 – твірні зрізаного конуса. Вони рівні між собою.
Куля, так само як циліндр і конус, є тілом обертання. Вин виходить при обертанні півкола навколо його діаметра як оси.
Якщо вісь обертання збігається з радіусом, який обмежує круговий сектор  АОС, то одержаний від обертання кульовий сектор називається простим, а якщо вісь обертання не збігається з радіусом, що обмежує круговий сектор СОD, то кульовий сектор називається порожнистим.
Об'єм тіла, одержаного при обертанні плоскої фігури навколо осі.

Об'єм тіла, утвореного плоскою фігурою при обертанні її навколо осі, яка лежить у площині цієї фігури і не перетинає її, дорівнює добутку площі фігури на довжину кола, описаного центром ваги цієї фігури:

Vтіла об = 2πSdc,

де  S – площа фігури, що обертається, а  dc – віддаль від центра ваги фігури до осі обертання.
Якщо  АВС  обертається навколо осі  МN, яка лежить у площині
трикутника, проходить через його вершину  А, але не перетинає сторону  ВС, то об'єм тіла, яке утворюється при цьому обертанні, дорівнює добуткові поверхні  SВС, утвореної протилежною стороною  ВС, на одну третину висоти трикутника, опущеної на цю сторону, тобто
Об'єм кульового сектора, сегмента і кулі.

Обом кульового сектора, який одержуємо при обертанні навколо діаметра  МN  кругового сектора  АОВ, є границею, до якої наближається об'єм тіла, утвореного обертанням многокутника, обмеженого радіусами  ОА  і  ОВ  і правильною ламаною лінією  АСDВ.
Ця ломана вписана в дугу кругового сектор  а, і число сторін її необмежено збільшується (тобто довжина кожної з сторін  АС, АD, …  наближається до нуля).

Об'єм кульового сектора дорівнює добуткові поверхні відповідного кульового пояса (або кульового сегмента) на третину радіуса:
де  R – радіус кульового сектора, а  Н – висота кульового пояса (сегмента).

Об'єм кулі дорівнює добуткові її поверхні на третину радіуса:
де  R – радіус кулі, D – діаметр кулі.
Формулу для об'єму кулі одержимо, поклавши у формулі об'єму кульового сектора

Н = 2R.

Об'єм кульового сегмента дорівнює об'єму циліндра, у якого радіус основи є висотою сегмента, а висота циліндра дорівнює радіусу кулі, зменшеному на третину висоти сегмента, тобто
де  h – висота сегмента, а  R – радіус кулі.

ЗАДАЧА:

Об’єм тіла обертання, що має висоту  12 см  і основами якого є кола радіусів  1 см  і  4 см, дорівнює  600 см3. Відомо, що переріз утвореного тіла обертання задовольняє умову

S(x) = αx2 + βx + γ.

Знайдіть площу перерізу даного тіла площиною  х = const, яка ділить висоту даного тіла навпіл.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

a = 0, b = 12,

Sниж. осн. = πR12 = π,

Sверх. осн. = πR22 = 16π.

17π + 4Sс = 300,
Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий