Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 6 февраля 2018 г.

Урок 3. Об'єм похилої призми

Похила призма рівновелика такій прямій призмі, основа якої дорівнює перпендикулярному перерізу похилої призми, а висота – її бічному ребру.
На рисунку зображені  ABCDA1B1C1D1 – похила призма, а   A'B'C'D'A1' B1' C1' D1' – пряма призма, основа якої  A'B'C'D', перпендикулярна до бічних ребер похилої призми, а висота (бічне ребро)  A' A1' = AA1 = H. У цьому випадку
Об'єм похилої призми дорівнює добуткові площі основи на висоту:
де  Sосн  – площа основи  ABCDE, а  H = OO1 – висота.
Якщо у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз  KML  на малюнку).
Тоді об'єм призми  V  можна знайти за формулою:

V = Sпер× l,

де  Sпер – площа перерізу, l – довжина бічного ребра.

Якщо в похилій призмі бічне ребро утворює однакові кути із сторонами основи, які виходять з його одного кінця, то проекція ребра на площину основи є бісектрисою відповідного кута основи.
Якщо в похилій призмі дві суміжні бічні грані утворюють однакові двогранні кути з основою, то проекція на основу бічного ребра, яке належить ліній перетину двох граней вказаних двогранних кутів, є бісектрисою кута основи. 

ЗАДАЧА:

Через середню лінію основи трикутної похилої призми проведено площину, паралельну бічному ребру. Об'єм відсіченої трикутної призми дорівнює  5. Знайдіть обсяг вихідної призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Площа основи відсіченої частини менша від площі основи всієї призми в  4 рази (так як і висота і основа трикутника зменшилися в  2 рази). Висоти обох частин призми однакові, тому обсяг відсіченої частини в  4 рази менше обсягу цілої призми, отже, обсяг вихідної призми дорівнює 

5 ∙ 4 = 20.

ЗАДАЧА:

У похилій трикутній призмі площа однієї з бічних граней становить  m2, а віддаль її від протилежного ребра дорівнює  2а. Знайти об'єм призми.
Нехай  РМN – перпендикулярний переріз призми  

 АС1  і  МL ⊥ РN, 

 тоді за умовою задачі  

 МL = 2а, а  РN × ВВ1 = m2. 

 Відомо, що об'єм призми

V = BB1 × SPMN,

 або

 V = 1/2× PN × ML × BB1
= 1/2(PN × BB1) × ML
= 1/2m2 × 2a = am2.

ВІДПОВІДЬ:

V = am2.

ЗАДАЧА:

Бічне ребро похилої трикутної призми дорівнює  6 см, дві бічні грані її взаємно перпендикулярні та їх площі дорівнюють  24 см2  і  30 см2. Знайти об'єм призми.
Нехай маємо похилу трикутну призму  АВСА1В1С1  з бічним ребром  А1А = 6 см, площини бічних граней  АСС1А1  та  ВСС1В1  якої взаємно перпендикулярні,

Проведемо перпендикулярний переріз  А'В'С'. Тоді:
Оскільки  (A'B'C') ⊥ C1C  і площини  A1C1C  та  B1C1C  взаємно перпендикулярні, то  

 ∠ A'B'C'= 90°.

 Отже,
і шуканий об'єм
ВІДПОВІДЬ:  60 см3.

ЗАДАЧА:

У похилій трикутній призмі основою є правильний трикутник. Одна з вершин верхньої основи трикутника проектується в нижній центр. Бічні ребра призми складають із площиною основи кут  45°. Знайдіть обсяг призми, якщо її висота дорівнює  4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Проекція  О  вершини верхньої основи  А1 – центр нижньої та є центром описаної біля нижньої основи кола. Відрізок  А1О – висота призми. АО – катет прямокутного трикутника  АОА1.

АО = А1О : tg 45° = 4.

АО – радіус  R  описаного кола.

R = а : √͞͞͞͞͞3,

а = R∙ √͞͞͞͞͞3  = 4√͞͞͞͞͞3.

Площа рівностороннього трикутника знаходимо за такою формулою:
Vпризмы = SABC ∙ A1O.
 Vпризмы = 12√͞͞͞͞͞3 ∙ 4 = 48√͞͞͞͞͞3.
Завдання до уроку 3
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий