Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда

Об'єм прямого паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.

де  S_осн – площа основи прямого паралелепіпеда, h – висота прямого паралелепіпеда.

На відміну від прямокутного паралелепіпеда, всі грані якого – прямокутники, у прямому паралелепіпеді в основі знаходиться паралелограм, а прямокутниками є лише чотири бічні грані. Але при зображенні прямокутного паралелепіпеда ми змушені зображувати основу також у вигляді паралелограма. Тому креслення прямого паралелепіпеда по суті нічим не відрізняється від креслення прямокутного паралелепіпеда, і це створює додаткові труднощі при користуванні кресленням:

Необхідно пам'ятати, що гострий кут паралелограма на кресленні є гострим і справді зображена фігура. Для більшої ясності рекомендується на кресленні робити цей кут дуже гострим, і обов'язково відзначати його (у разі  60°).

ЗАДАЧА:

У прямому паралелепіпеді сторони основи  а  і  b  утворюють кут  30°. Бічна поверхня дорівнює  S. Знайдіть його об'єм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо висоту даного паралелепіпеда через  х.

Тоді

(2a + 2b)x = S.

Звідки

Площа основи паралелепіпеда дорівнює

Об'єм дорівнює

ВІДПОВІДЬ:

 

ЗАДАЧА:

У прямому паралелепіпеді сторони основи рівні  а  та  b  і гострий кут – α. Велика діагональ основи дорівнює меншій діагоналі паралелепіпеда. Знайти об’єм паралелепіпеда.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

У прямому паралелепіпеді діагоналі (всього їх чотири) попарно рівні:

А₁С = АС₁, ВD₁ = В₁D

(діагоналі  А₁С  і  В₁D  на кресленні не проведені).

Нехай гострий кут основи  АВСD  є  ∠ DАВ = α, тоді

∠ АВС = 180° – α  тупий, і  АС ˃ ВD. Значить менша діагональ паралелепіпеда є  ВD₁

(або  (ВD₁)² = Н² + ВD²,

тоді як  А₁С² = Н² + АС²,

отже, ((ВD₁)² <  А₁С²).

З умови  ВD₁ = АС  можна знайти  Н. Саме з трикутника  ВDD₁  маємо:

H² = (ВD₁)² – BD² = AC² – BD².

З трикутника  АВD  знаходимо:

BD² = a² + b² – 2ab cos α,

а з трикутника  АВС  знаходимо:

AC² = a² + b² – 2ab cos (180° – α).

Отже,  H² = 4ab cos α.

Площа основи дорівнює:

S = ab sin α,

тоді об’єм дорівнює:

ЗАДАЧА:

Діагоналі прямого паралелепіпеда дорівнюють  9 см  і  √͞͞͞͞͞33 см. Периметр його основи дорівнює  18 см. Бокове ребро дорівнює  4 см. Знайти об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

Позначимо більшу сторону основи  АВ  через  а, меншу (ВС) – через  b. За умовою

а + b = 9 (см).

Щоб знайти а, b, а також гострий кут α обчислимо діагоналі основи. Так як менша діагональ  ВD₁ = √͞͞͞͞͞33 см  паралелепіпеда проектується на площину основи діагоналлю  ВD, то:

BD² = (BD₁)² – (DD₁)² =

= (√͞͞͞͞͞33)² – 4² = 17 (см).

Так само знайдемо  АС² = 65 (см²). Отримуємо два рівняння:

a² + b² – 2ab cos α = 17,

a² + b² + 2ab cos α = 65.

Складаючи їх, знаходимо

a² + b² = 41,

що разом з

а + b = 9

дає  а = 5, b = 4 (ми позначили через велику сторону). Віднімаючи, знаходимо

4ab cos α = 48,

тобто,

Отже,

S_осн = ab sin α =

= 4 ∙ 5 ∙ 0,8 = 16 (см²).

V = 16 ∙ 4 = 64 см³.

ВІДПОВІДЬ:  64 см³

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об’ємові
• Урок 2. Об’єм прямий призми
• Урок 3. Об’єм похилої призми
• Урок 4. Об’єм правильної призми
• Урок 6. Об’єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об’єм подібних тіл