Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 8 февраля 2018 г.

Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда

Об'єм прямого паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.
де  Sосн – площа основи прямого паралелепіпеда, h – висота прямого паралелепіпеда.
На відміну від прямокутного паралелепіпеда, всі грані якого – прямокутники, у прямому паралелепіпеді в основі знаходиться паралелограм, а прямокутниками є лише чотири бічні грані. Але при зображенні прямокутного паралелепіпеда ми змушені зображувати основу також у вигляді паралелограма. Тому креслення прямого паралелепіпеда по суті нічим не відрізняється від креслення прямокутного паралелепіпеда, і це створює додаткові труднощі при користуванні кресленням:
Необхідно пам'ятати, що гострий кут паралелограма на кресленні є гострим і справді зображена фігура. Для більшої ясності рекомендується на кресленні робити цей кут дуже гострим, і обов'язково відзначати його (у разі  60°).

ЗАДАЧА:


У прямому паралелепіпеді сторони основи  а  і  b  утворюють кут  30°. Бічна поверхня дорівнює  S. Знайдіть його об'єм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо висоту даного паралелепіпеда через  х.
Тоді

(2a + 2b)x = S.

Звідки
Площа основи паралелепіпеда дорівнює
Об'єм дорівнює
ВІДПОВІДЬ:
 

ЗАДАЧА:

У прямому паралелепіпеді сторони основи рівні  а  та  b  і гострий кут – α. Велика діагональ основи дорівнює меншій діагоналі паралелепіпеда. Знайти об’єм паралелепіпеда.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
У прямому паралелепіпеді діагоналі (всього їх чотири) попарно рівні:

А1С = АС1, ВD1 = В1D

(діагоналі  А1С  і  В1D  на кресленні не проведені).

Нехай гострий кут основи  АВСD  є  DАВ = α, тоді

АВС = 180° – α  тупий, і  АС ˃ ВD. Значить менша діагональ паралелепіпеда є  ВD1

(або  (ВD1)2 = Н2 + ВD2,

тоді як  А1С2 = Н2 + АС2,

отже, ((ВD1)2 <  А1С2).

З умови  ВD1 = АС  можна знайти  Н. Саме з трикутника  ВDD1  маємо:

H2 = (ВD1)2 – BD2 = AC2 – BD2.

З трикутника  АВD  знаходимо:

BD2 = a2 + b22ab cos α,

а з трикутника  АВС  знаходимо:

AC2 = a2 + b2 – 2ab cos (180°α).

ОтжеH2 = 4ab cos α.
Площа основи дорівнює:

S = ab sin α,

тоді об’єм дорівнює:
ЗАДАЧА:

Діагоналі прямого паралелепіпеда дорівнюють  9 см  і  √͞͞͞͞͞33 см. Периметр його основи дорівнює  18 см. Бокове ребро дорівнює  4 см. Знайти об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:
Позначимо більшу сторону основи  АВ  через  а, меншу (ВС) – через  b. За умовою

а + b = 9 (см).

Щоб знайти а, b, а також гострий кут α обчислимо діагоналі основи. Так як менша діагональ  ВD1 = √͞͞͞͞͞33 см  паралелепіпеда проектується на площину основи діагоналлю  ВD, то:

BD2 = (BD1)2(DD1)2 =

= (√͞͞͞͞͞33)2 – 42 = 17 (см).

Так само знайдемо  АС2 = 65 (см2). Отримуємо два рівняння:

a2 + b2 – 2ab cos α = 17,

a2 + b2 + 2ab cos α = 65.

Складаючи їх, знаходимо

a2 + b2 = 41,

що разом з

а + b = 9

дає  а = 5, b = 4 (ми позначили через велику сторону). Віднімаючи, знаходимо

4ab cos α = 48,

тобто,
Отже,

Sосн = ab sin α =

= 4 5 0,8 = 16 (см2).

V = 16 4 = 64 см3.

ВІДПОВІДЬ:  64 см3

Завдання до уроку 5
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий