Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 9 февраля 2018 г.

Урок 6. Об'єм похилого паралелепіпеда

Об'єм похилого паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.
де  Sосн – площа основи похилого паралелепіпеда, h – висота похилого паралелепіпеда.
ЗАДАЧА:

Основою похилого паралелепіпеда є паралелограм  АВСD, у якого  

 АВ = 3 дм, АD = 7 дм  і  
ВD = 6 дм. 

 Діагональний переріз  АА1С1С  перпендикулярний до площини основі і його площа дорівнює  1 м2. Обчислите об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай маємо похилий паралелепіпед  

 АВСDА1В1С1D1, 

 у якому площина діагонального перерізу  АСС1А1  перпендикулярна до площини основи.
Крім того, за умовою,

АВ = 3 дм, 
АD = 7 дм, 
ВD = 6 дм,
За властивістю сторін і діагоналей паралелограма

AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2),
звідки:
AC2 = 2(9 + 49) – 36 = 80,
AC = 4√͞͞͞͞͞5 (дм).

Проведемо висоту  A1N = H   паралелепіпеда  (N ∈ AC)  і визначимо її з паралелограма  АСС1А1:
Sосн = 2S∆ABD.

Площу трикутника  ABD  знайдемо за формулою Герона:

p = 1/2(3 + 7 + 6) = 8 (дм),
Тому 

Sосн = 8√͞͞͞͞͞5 (дм3).
V = Sосн × H = 8√͞͞͞͞͞5  × 5√͞͞͞͞͞5  
= 200 (дм3) = 0,2 (м3). 

ВІДПОВІДЬ:  0,2 м3.

ЗАДАЧА:

Площа бічної грані трикутної призми дорівнює  S, а відстань від протилежного ребра до цієї грані  а. Знайдіть об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай маємо похилу трикутну призму  АВСА1В1С1, площа її бічної грані  ВСС1В1  дорівнює  S, а  

 d(AA1; (BCC1)) = а. 

 Об'єм цієї призми позначимо як  V. Добудуємо дану трикутну призму до паралелепіпеда  АВСDА1В1С1D1.
Об'єм такого паралелепіпеда вдвічі більший за об'єм даної призми, тобто дорівнює  2V. Розглянемо як основу призми  

 АВСDА1В1С1D1  

 грань  ВСС1В1. Тоді її об'єм дорівнює

2V = S × d(AA1; (BCC1)) = S × а.

ВІДПОВІДЬ:  1/2 S × а.  

ЗАДАЧА:

Основою паралелепіпеда є ромб зі стороною  4  і гострим кутом  60°. Одне з ребер паралелепіпеда складає з цією гранню кут  60°  і дорівнює  5. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Об'єм паралелепіпеда знаходимо за такою формулою:

V = So ∙ H,

де  Н – висота паралелепіпеда.

Площа ромба із заданою стороною  a  та кутом  α, знаходимо за такою формулою:

So = a2 ∙ sin α.

Підставляючи відомі величини, отримуємо:

So = a2 ∙ sin α = 16∙1/2∙√͞͞͞͞͞3 = 8√͞͞͞͞͞3.

Кут між ребром  АА1  та гранню основи  АВСD – є кут між цим ребром та проекцією ребра на площину основи, яка дорівнює  АН, де  Н – проекція точки  А1  на  АВСD, тобто

∠ А1АН = 60°.

У прямокутному трикутнику  АА1Н:
Завдання до уроку 6
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий