Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Розглянемо обсяг предмета, що має форму прямокутного паралелепіпеда. Моделлю паралелепіпеда може служити сірникова коробка, цегла.

Прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма плоскими гранями, кожна з яких є прямокутником.

Шафа повністю вміщується в кімнату, коробка повністю вміщується у шафу. Кажуть, що об'єм кімнати більший за об'єм шафи, а об'єм шафи більший за об'єм коробки.

На малюнку зображено два прямокутні паралелепіпеди, які заповнені рівними кубиками.

У кожному паралелепіпеді по  36 кубиків. Ці паралелепіпеди мають рівні обсяги, або, кажуть, що їхня місткість однакова.

Рівні прямокутні паралелепіпеди мають рівні обсяги.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі обсягів його частин.

Як вимірюється обсяг прямокутного паралелепіпеда ? Для цього необхідно встановити одиницю вимірювання. За одиницю виміру обсягу приймається об'єм куба, сторона якого дорівнює якійсь одиниці довжини. Якщо довжина ребра куба дорівнює сантиметру, такий куб називається

кубічним сантиметром (см³),

якщо ребро дорівнює метру, то такий куб називається

кубічним метром (м³);

якщо – дециметру, 

кубічним дециметром (дм³)

і так далі.

Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда виражені натуральним числом, його обсяг показує, скільки одиничних кубів потрібно, щоб заповнити його.

Виведемо правило обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда. Припустимо, що його виміри  5 см, 3 см, 4 см.

Будемо його заповнювати кубиками з ребром в  1 см. Якщо довжина і ширина однієї грані – називатимемо її основою прямокутного паралелепіпеда – 5 см  і  3 см, то на ній укластися  5 ∙ 3, тобто  15 кубиків. Щоб заповнити весь паралелепіпед, потрібно укласти  4  таких шари, так як висота паралелепіпеда дорівнює  4 см. Отже, число всіх кубиків буде:

15 ∙ 4 = 60.

Об’єм одного кубика  1 см³, і, отже, об'єм прямокутного паралелепіпеда

1 см³ ∙ 60 = 60 см³.

Отже, ми знайшли об’єм прямокутного паралелепіпеда як добуток трьох його вимірів:

5 ∙ 3 ∙ 4 (см³).

Маючи одиницю виміру, ми можемо обчислити об’єм прямокутного паралелепіпеда на підставі наступного правила.

Щоб обчислити об’єм прямокутного паралелепіпеда, треба виміряти однією і тією самою одиницею вимірювання його довжину, ширину і висоту та отримані числа перемножити.

Добуток вкаже, скільки кубічних одиниць міститься в об'ємі прямокутного паралелепіпеда.

ПРИКЛАД:

Якщо розміри прямокутного паралелепіпеда  (5 см, 4 см, 6 см), то об’єм дорівнюватиме:

5 см × 4 см × 6 см = 120 см³.

Якщо позначимо об’єм літерою  V, а виміри літерами  а, b, с, то отримаємо формулу:

Об'єм прямокутного паралелепіпеда, з ребрами а, b, і с, дорівнює добутку довжин цих ребер. 

Ця формула справедлива і тоді, коли виміри паралелепіпеда виражаються дробовими числами. При обчисленні за цією формулою слід стежити, щоб усі виміри були виражені однією і тією самою одиницею довжини.

ПРИКЛАД:

Виміри прямокутного паралелепіпеда  8 дм, 2,5 дм, 6 см. Обчислимо його об’їм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виразимо всі виміри а дециметрах. Оскільки  6 см = 0,6 дм, то дістанемо:

V = 8 × 2,5 × 0,6 = 12 (дм³).

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добуткові площі його основи на висоту.

де  S_осн – площа основи прямокутного паралелепіпеда, h – висота прямокутного паралелепіпеда.

ЗАДАЧА:

Визначити об'єм прямокутного паралелепіпеда через площі його граней:

Q₁, Q₂, Q₃.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Позначимо виміри паралелепіпеда через

x, y, z.

Тоді 

xy = Q₁,  xz = Q₂,  yz = Q₃.

Помноживши праві і ліві частини цих рівнянь, одержимо

(xyz)² = Q₁Q₂Q₃

звідки

Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

В основі прямої призми лежить прямокутник, діагоналі якого утворюють між собою кут  φ. Діагональ однієї з бічних граней дорівнює  b  й утворює з площиною основи кут  α. Обчислити об'єм призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай основою прямої призми  

АВСDА₁В₁С₁D₁  

є прямокутник  АВСD, О – точка перетину діагоналей  АС  і  ВD  основи,  

∠ АОВ = φ.

Протилежними бічними гранями призми є рівні прямокутники, діагоналі яких рівні. Вважатимемо спочатку, що задана діагональ  А₁В  грані  АА₁В₁В. Оскільки  АА₁ ⊥ (АВС), то проекцією діагоналі  А₁В  на площину основи є сторона  АВ. Згідно з умовою задачі,

∠ А₁ОВ = α, А₁В = b.

З  ∆А₁АВ (∠ А = 90°),

АВ = А₁В cos α = b cos α ,

АА₁ = А₁В sin α = b sin α.

Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл. Тому  OA = OB  і

З  ∆BАD (∠ А = 90°),

AD = AB tg∠ АBD =

b cos α tg(90° – φ/2) =

b cos α ctg φ/2.

Тоді 

V =AD  AB  AA₁ =

b cos α ctg φ/2  b cos α  b sin α

Якщо вважати заданою діагональ  A₁D  грані  AA₁D₁D, 

то з  ∆ А₁АD  одержимо: 

AD = b cos α, 
AA₁ = b sin α.

Тоді з  ∆BAD,

AB = AD ctg(90° – φ/2) 
= b cos α tg φ/2  і

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

У прямокутному паралелепіпеді діагональ  d  утворює з площиною основи кут  α, а з площиною бічної грані – кут  β. Знайти об'єм паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай прямокутному паралелепіпеді  

АВСDА₁В₁С₁D₁  

діагональ  

В₁D = d.

Оскільки  B₁B⊥(ABC), а  
B₁C₁⊥(D₁C₁C), то  

∠ B₁DB  і  ∠ B₁DC₁ – 

це кути, які діагональ  B₁D   утворює з площиною основи і з площиною бічної грані відповідно. Згідно з умовою,

∠ B₁DB = α  a  ∠ B₁DC₁ = β.

V = S_осн× H.

З  ∆ B₁BD (∠ B = 90°),

B₁B = H = B₁D sin∠ D = d sin α,

BD = B₁D cos α = d cos α. 

З  ∆ B₁C₁D (∠ C₁ = 90°),

B₁C₁ = BC = B₁D sin∠ D = d sin β.

З  ∆ BCD (∠ C = 90°),

BC²+ CD² = BD²,

d²sin²β + CD² = d²sin²α.

Тепер находимо:

S_осн = BC×CD =

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об’ємові
• Урок 2. Об’єм прямий призми
• Урок 3. Об’єм похилої призми
• Урок 4. Об’єм правильної призми
• Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об’єм похилого паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники
• Урок 19. Об’єм подібних тіл