Завдання 1. Об’єми подібних тіл

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Об’єм подібних тіл
 1. Об'єм піраміди дорівнює  V. Її висоту поділено у відношенні  2 : 3, рахуючи від вершини піраміди, і через точку поділу проведено площину, паралельну площині основи. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди, що утворилась.

 2. Висоту піраміди поділено на  3  рівні частини і через точки поділу проведено площини, паралельні площині основи піраміди. Знайдіть відношення об'ємів частин, на які розбивають піраміду ці площини.

  а)  1 : 7 : 19;     

 б)  1 : 9 : 19;     

 в)  1 : 7 : 17;     

 г)  3 : 7 : 19.

 3. Знайдіть об'єм зрізаного конуса, у якого радіуси основ  

R₁  і  R₂   (R₂ < R₁), 

а висота  h.

 4. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди, із площами основ  

Q₁  і  Q₂   (Q₂ < Q₁), 

і висотою  h.

 5. Площа основи піраміди дорівнює  S, а її висота, яка дорівнює  Н, поділена у відношенні  1 : 2, рахуючи від вершини піраміди, і через точку поділу проведено площину, яка паралельна площині основи. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди, що утворилась.

 6. Висоту піраміди поділено на  4  рівні частини і через точки поділу проведено площини, паралельні площині основи піраміди. Знайдіть відношення об'ємів частин, на які розбивають піраміду ці площини.

 а)  1 : 8 : 27 : 64;    

 б)  1 : 9 : 27 : 64;     

 в)  2 : 8 : 27 : 64;     

 г)  1 : 8 : 24 : 64.

 7. Бокове ребро піраміди розділене на чотири рівні частини й через точки поділу проведені площини, паралельні основі. Площа основи дорівнює  400 см². Знайдіть площі перетинів.

 а)  28 cм², 100 cм², 215 cм²;     

 б)  25 cм², 110 cм², 228 cм²;     

 в)  35 cм², 105 cм², 230 cм²;     

 г)  25 cм², 100 cм², 225 cм².

 8.  Конус перерізаний площиною, що паралельна основі, на відстані  d  від вершини. Знайдіть площу перерізу, якщо радіус основи конуса  R, а висота  H.

 9. Через середину висоти піраміди проведена площина, паралельна основи. У якому відношенні вона ділить об'єм піраміди ?

 а)  1 : 7;      
 б)  2 : 3;     

 в)  1 : 5;      
 г)  3 : 7.

10. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють  R  і  r. Площина, паралельна до основ, поділила його на два подібних зрізаних конуси. Знайти відношення об'ємів одержаних конусів.

11. Висота піраміди дорівнює  17 см. На відстані  у см (у < 17) від основи її перетинає площина, паралельна основі. Обчислити відношення об'ємів більшої і меншої пірамід.

12. Чашка діаметром  8 см  і заввишки  10 см  вміщує  0,5 літра води. Яких розмірів має бути подібна чашка, що вміщує  4 літри води ?

 а)  16 см, 22 см;     

 б)  18 см, 20 см;     

 в)  14 см, 18 см;     

 г)  16 см, 20 см.

Урок 19. Об’єми подібних тіл

Подібність многокутников.

Два многокутника називаються подібними, якщо вони мають відповідно рівні многогранних куті і відповідно подібні грані.

Відповідні елементи подібних багатогранників називаються спорідненими. У подібних багатогранників двогранні кути рівні і однаково розташовані; відповідні ребра пропорціональні.

Якщо в піраміді провести січну площину паралельно до основи, то вона відтинає від неї другу піраміду, подібну до даної.

Поверхні подібних багатокутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів цих багатокутників.

Подібні циліндри і конуси.

Два циліндри, конуси або зрізані конуси називаються подібними, якщо подібні їх осьові перерізи.

Об'єми подібних тіл.

Нехай  Т  и  Т' – два простих подібних тіла. Це означає, що існує перетворення подібності, при якому тіло  Т  переходить у тіло  Т'. Позначимо через  k  коефіцієнт подібності.

Розіб'ємо тіло  Т  на трикутні піраміди  Р₁, Р₂, …, Р_n … Перетворення подібності, що переводить тіло  Т  у  тіло  Т'  переводить піраміди  Р₁, Р₂, …, Р_n  у піраміди  Р₁', Р₂', …, Р_n'. Ці піраміди складають тіло  Т'  й тому об'єм тіла  Т'  дорівнює сумі об'ємів пірамід  Р₁', Р₂', …, Р_n'.   

Так як піраміди  Р₁'  й  Р₁  подібні і коефіцієнт подібності дорівнює  k, то відношення їхніх висот дорівнює  k, а відношення площ їхніх основ дорівнює  k². Отже, відношення об'ємів пірамід дорівнює  k³. Так як тіло  Т  складено з пірамід  Р₁, а тіло  Т'  складено з пірамід  Р₁', то відношення об'ємів тіл  Т'  і  Т  теж дорівнює  k³.  

Число  k  – коефіцієнт подібності – дорівнює відношенню відстаней між будь-якими двома відповідними парами точок при перетворенні подібності. Отже, це число дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних лінійних розмірів тіл  Т'  і  Т. Таким чином, ми приходимо до наступного висновку: 

Об'єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Квадрати об'ємів подібних тіл відносяться, як куби площ відповідних граней.

Об'єми подібних циліндрів, конусів і зрізаних конусів відносяться, як куби їх відповідних лінійних елементів (радіусів основ, висот, твірних).

Об'єми куль відносяться, як куби їх радіусів або діаметрів.

ЗАДАЧА:

Через середину висоти піраміди проведена площина, паралельна основи. У якому відношенні вона ділить об’єм піраміди ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

Як ми знаємо, проведена площина відтинає подібну піраміду. Коефіцієнт подоби дорівнює відношенню висот, тобто  ¹/₂. Тому об’єми пірамід відносяться як

Отже, площина ділить нашу піраміду на частини, об’єми яких відносяться як

ЗАДАЧА:

Об'єм конуса дорівнює  16. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом 0,5. Об'єми подібних тіл відносяться як куб коефіцієнта подібності. Тому обсяг меншого конуса у вісім разів менший за обсяг більшого конуса.

ВІДПОВІДЬ:  2

ЗАДАЧА:

У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає 1/2 висоти. Об'єм рідини дорівнює  54 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

1 спосіб.

Об'єм рідини дорівнює обсягу займаної частини конуса. Тому:

^H/₂ – висота рівня рідини, якщо висота конуса дорівнює  Н,
^R/₂ – радіус основи конуса, чий об'єм займає рідину, оскільки трикутники  АОD  і  АВС  подібні і коефіцієнт подібності дорівнює  2. Звідси:

Об'єм конуса є

Значить долити потрібно

432 – 54 = 378 (мл).

2 спосіб

Можна міркувати і так:

Відсічений конус, що утворився при перетині вихідного конуса площиною паралельної основи і перетинає висоту конуса посередині, подібний до вихідного з коефіцієнтом подібності

1 : 2.

Отже, обсяг вихідного конуса є  8  обсягів відсіченого конуса (обсяги подібних тіл знаходяться у відношенні  k³, де  k – коефіцієнт подібності). Отже, на усічений конус припадає  7  обсягів відсіченого (малого) конуса. Тобто об'єм усіченого конуса (а значить об'єм рідини, що потрібно долити) є

7 ∙ 54 = 378.

ВІДПОВІДЬ:  378 мл

ЗАДАЧА:

У зрізаній трикутній піраміді через сторону верхньої основи проведено площину паралельно бічному ребру. У якому відношенні розділиться об’єм зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони основ пропорційні числам  1 : 3 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Нехай  АВСА₁В₁С₁ –  зрізана піраміда,

A₁B₁ML ∥ CC₁, ОО₁ = Н.

Якщо відповідні сторони основ пропорційні числам  1 : 3, то площі основ будуть пропорційні числам  1 : 9.

S₁ – площа  ∆ А₁В₁С₁,

S₂ – площа  ∆ АВС.

V₁ – об’єм зрізної піраміди.

V₁ = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂) =

= ¹/₃ H (S₁ + 9S₁ + √͞͞͞͞͞S₁∙9S₁) = ¹/₃ H (13S₁).

V₂ – об’єм похилої призми  А₁В₁С₁LMC:

V₂ = S₁ ∙ H.

V₃ – об’єм фігури, що залишилася:

V₃ = V₁ – V₂ = ¹/₃ H (13S₁) – S₁ ∙ H =

= ¹/₃ 10S₁ H.

ВІДПОВІДЬ:  ³/₁₀

ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди  S₁  і  S₂, а її об'єм V. Визначити об'єм повної піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  S₁ > S₂. Позначимо об'єм повної піраміди через  V₁, об'єм піраміди, що доповнює дану зрізану піраміду до повної, через  V₂. Тоді:

або

Складаючи похідну пропорцію, дістанемо:

Враховуючи, що  

V₁ – V₂ = V, 

знаходимо:

Звідки:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють  а²  і  b². Знайти площу перерізу, що паралельний до площин основ зрізаної піраміди і ділить її об'єм пополам.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В зрізаній піраміді  АС₁  (для простоти рисунка розглядається трикутна піраміда) дано:

Треба знайти площу перерізу  А'В'С'  (пл. АВС ∥ пл. А'В'С'), який ділить зрізану піраміду на рівновеликі за об'ємом частини.

Доповнимо зрізану піраміду до повної. Піраміди  

SАВС, SА'В'С', SA₁B₁C₁ – подібні.

Позначимо площу шуканого перерізу  А'В'С'  через  х², а об'єми пірамід  

SАВС, SА'В'С'  і  SA₁B₁C₁  

відповідно V_a, V_x, V_b. Тоді:

або

де  t – деяке число, що позначає величину цих відношень. Тоді:

V_a = a³t,  
V_x = x³t,  
V_b = b³t.

За умовою задачі:

V_a  – V_x = V_x  – V_b,

або

a³t – x³t = x³t – b³t,

звідки:

2x³ = a³ + b³.

отже,

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 19

• Завдання 1

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання об’ємові
• Урок 2. Об’єм прямий призми
• Урок 3. Об’єм похилої призми
• Урок 4. Об’єм правильної призми
• Урок 5. Об’єм прямого паралелепіпеда
• Урок 6. Об’єм похилого паралелепіпеда
• Урок 7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
• Урок 8. Об’єм куба
• Урок 9. Об’єм піраміди
• Урок 10. Об’єм правильної піраміди
• Урок 11. Об’єм зрізаної піраміди
• Урок 12. Об’єм циліндра
• Урок 13. Об’єм конуса
• Урок 14. Об’єм зрізаного конуса
• Урок 15. Об’єм кули та її частин
• Урок 16. Тіла обертання
• Урок 17. Комбінації тіл (2)
• Урок 18. Правильні багатогранники