Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 19. Об’єми подібних тіл

Подібність многокутников.

Два многокутника називаються подібними, якщо вони мають відповідно рівні многогранних куті і відповідно подібні грані.

Відповідні елементи подібних багатогранників називаються спорідненими. У подібних багатогранників двогранні кути рівні і однаково розташовані; відповідні ребра пропорціональні.

Якщо в піраміді провести січну площину паралельно до основи, то вона відтинає від неї другу піраміду, подібну до даної.

Поверхні подібних багатокутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів цих багатокутників.

Подібні циліндри і конуси.

Два циліндри, конуси або зрізані конуси називаються подібними, якщо подібні їх осьові перерізи.

Об'єми подібних тіл.

Нехай Т и Т' – два простих подібних тіла. Це означає, що існує перетворення подібності, при якому тіло Т переходить у тіло Т'. Позначимо через k коефіцієнт подібності.

Розіб'ємо тіло Т на трикутні піраміди Р₁, Р₂, …, Р_n … Перетворення подібності, що переводить тіло Т у тіло Т' переводить піраміди Р₁, Р₂, …, Р_n у піраміди Р₁', Р₂', …, Р_n'. Ці піраміди складають тіло Т' й тому об'єм тіла Т' дорівнює сумі об'ємів пірамід Р₁', Р₂', …, Р_n'.

Так як піраміди Р₁'й Р₁ подібні і коефіцієнт подібності дорівнює k, то відношення їхніх висот дорівнює k, а відношення площ їхніх основ дорівнює k². Отже, відношення об'ємів пірамід дорівнює k³. Так як тіло Т складено з пірамід Р₁, а тіло Т' складено з пірамід Р₁', то відношення об'ємів тіл Т' і Т теж дорівнює k³.

Число k – коефіцієнт подібності – дорівнює відношенню відстаней між будь-якими двома відповідними парами точок при перетворенні подібності. Отже, це число дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних лінійних розмірів тіл Т' і Т. Таким чином, ми приходимо до наступного висновку:

Об'єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Квадрати об'ємів подібних тіл відносяться, як куби площ відповідних граней.

Об'єми подібних циліндрів, конусів і зрізаних конусів відносяться, як куби їх відповідних лінійних елементів (радіусів основ, висот, твірних).

Об'єми куль відносяться, як куби їх радіусів або діаметрів.

ЗАДАЧА:

Через середину висоти піраміди проведена площина, паралельна основи. У якому відношенні вона ділить об’єм піраміди ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

Як ми знаємо, проведена площина відтинає подібну піраміду. Коефіцієнт подоби дорівнює відношенню висот, тобто ¹/₂. Тому об’єми пірамід відносяться як
Отже, площина ділить нашу піраміду на частини, об’єми яких відносяться як
ЗАДАЧА:

Об'єм конуса дорівнює 16. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом 0,5. Об'єми подібних тіл відносяться як куб коефіцієнта подібності. Тому обсяг меншого конуса у вісім разів менший за обсяг більшого конуса.

ВІДПОВІДЬ: 2

ЗАДАЧА:

У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає 1/2 висоти. Об'єм рідини дорівнює 54 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:

1 спосіб.

Об'єм рідини дорівнює обсягу займаної частини конуса. Тому:

^H/₂ – висота рівня рідини, якщо висота конуса дорівнює Н,
^R/₂ – радіус основи конуса, чий об'єм займає рідину, оскільки трикутники АОD і АВС подібні і коефіцієнт подібності дорівнює 2. Звідси:

Об'єм конуса є
Значить долити потрібно

432 – 54 = 378 (мл).

2 спосіб

Можна міркувати і так:

Відсічений конус, що утворився при перетині вихідного конуса площиною паралельної основи і перетинає висоту конуса посередині, подібний до вихідного з коефіцієнтом подібності

1 : 2.

Отже, обсяг вихідного конуса є 8 обсягів відсіченого конуса (обсяги подібних тіл знаходяться у відношенні k³, де k – коефіцієнт подібності). Отже, на усічений конус припадає 7 обсягів відсіченого (малого) конуса. Тобто об'єм усіченого конуса (а значить об'єм рідини, що потрібно долити) є

7 ∙ 54 = 378.

ВІДПОВІДЬ: 378 мл

ЗАДАЧА:

У зрізаній трикутній піраміді через сторону верхньої основи проведено площину паралельно бічному ребру. У якому відношенні розділиться об’єм зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони основ пропорційні числам 1 : 3 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Нехай АВСА₁В₁С₁– зрізана піраміда,

A₁B₁ML ∥ CC₁, ОО₁ = Н.

Якщо відповідні сторони основ пропорційні числам 1 : 3, то площі основ будуть пропорційні числам 1 : 9.

S₁ – площа ∆ А₁В₁С₁,

S₂ – площа ∆ АВС.

V₁ – об’єм зрізної піраміди.

V₁= ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂) =

= ¹/₃ H (S₁ + 9S₁ + √͞͞͞͞͞S₁∙9S₁) = ¹/₃ H (13S₁).

V₂ – об’єм похилої призми А₁В₁С₁LMC:

V₂ = S₁ ∙ H.

V₃ – об’єм фігури, що залишилася:

V₃ = V₁ – V₂ = ¹/₃ H (13S₁) – S₁ ∙ H =

= ¹/₃ 10S₁ H.
ВІДПОВІДЬ: ³/₁₀

ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди S₁ і S₂, а її об'єм V. Визначити об'єм повної піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай S₁ > S₂. Позначимо об'єм повної піраміди через V₁, об'єм піраміди, що доповнює дану зрізану піраміду до повної, через V₂. Тоді:

або

Складаючи похідну пропорцію, дістанемо:

Враховуючи, що

V₁ – V₂= V,

знаходимо:

Звідки:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють а² і b². Знайти площу перерізу, що паралельний до площин основ зрізаної піраміди і ділить її об'єм пополам.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В зрізаній піраміді АС₁ (для простоти рисунка розглядається трикутна піраміда) дано: