Урок 1. Поняття послідовності

Нехай задано множину всіх натуральних чисел, розташованих у порядку їх зростання (натуральний ряд):

1, 2, 3, … , n, …

Якщо кожному числу  n  множини  N (n ∈ N)  за певним правилом (законом)  f  поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число  u_n, тобто:

то кажуть, що задано послідовність:

u₁,  u₂,  u₃ … , u_n, …

ПРИКЛАД:

Випишемо в порядку зростання двозначні числа, що закінчуються цифрою  5:

15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95.

Першим записано число  15, другим – число  25, третім – число  35, дев'ятим (останнім) – число  95. Кожному натуральному числу від  1  до  9  поставлена у відповідності двозначна однина що закінчується цифрою  5:

Тим самим задана функція, областю визначення якої служить множина

{1; 2; 3; …; 9},

а областю значень - множина

{15; 25; 35; …; 95}.

Позначимо цю функцію буквою  g, тоді

g(1) = 15;  g(2) = 25;  g(3) = 35;  …;  g(9) = 95.

ПРИКЛАД:

Розташуємо в порядку убування правильні дроби з чисельником, рівним  1:

¹/₂;  ¹/₃;  ¹/₄;  ¹/₅;  ¹/₆;  … .

Ми виписали лише перші п'ять таких дробів. Очевидно, що на шостому місці повинен стояти дріб  ¹/₇, на сьомому – дріб  ¹/₈, на тридцятому – дріб  ¹/₃₁, на сотому – дріб  ¹/₁₀₀. Взагалі, для будь-якого натурального числа  n  можна вказати дріб, що відповідає йому, причому цей дріб буде єдиним.

Таким чином, і в даному випадку задана функція. Областю визначення цієї функції служить безліч  N  натуральних чисел, а областю значень – безліч правильних дробів з чисельником, рівним  1. Позначимо розглянуту функцію буквою  h, тоді

h(1) = ¹/₂; h(2) = ¹/₃; h(3) = ¹/₄; …;

h(30) = ¹/₃₁; …; h(100) = ¹/₁₀₁; … .

Функція, область визначення якої – безліч натуральних чисел або безліч перших  n  натуральних чисел, називається послідовністю.

Якщо послідовність визначена на безлічі усіх натуральних чисел, то таку послідовність називають нескінченною, а якщо послідовність визначена на безлічі перших  n  натуральних чисел, то її називають кінцевою.

У першому з наведених вище прикладів ми розглянули кінцеву послідовність, в другому - нескінченну (у записі це показано за допомогою багато крапки).

Нехай деяка функція  f  є послідовністю. Значення функції

f(1);  f(2);  f(3); …;  f(n); …,

що відповідають значенням аргументу, рівним 

1,  2,  3, … ,  n,  … ,

називають першим, другим, третім, …, енним, … членами послідовності

Зазвичай члени послідовності означають буквою з індексами. Позначимо перший член послідовності символом  а₁  (читається: а  перше), другий – символом  а₂  (а  друге), третій – символом  а₃  (а  трете), …, член з номером  n – символом  а_n  (а  енне) і т. д.:

f(1) = а₁;  f(2) = а₂;  f(3) = а₃; …;  f(n) = а_n; …,

У цьому позначенні індекс (порядковий номер члена) дорівнює значенню аргументу; символом  а_n  позначено значення функції, що відповідає аргументу  n. Саму послідовність означають так:

(а_n),  де  n = 1, 2, 3, …

ПРИКЛАД:

Позначимо послідовність, членами якої є правильні дроби з чисельником, рівним  1, символом  (а_n). Тоді

а₁  = ¹/₂;  а₂ = ¹/₃;  а₃ = ¹/₄;  а₃₀ = ¹/₃₁;  а₁₀₀ = ¹/₁₀₁.

Замість букви  а  можна було б узяти яку-небудь іншу букву.

Числову послідовність, яка є зростаючою функцією, прийнято називати зростаючою послідовністю.

Розглянута в першому прикладі послідовність двозначних чисел, що закінчуються цифрою  5, така, що більшому номеру (більшому значенню аргументу) відповідає більший член послідовності (більше значення функції). Значить, ця кінцева послідовність є такою, що зростає.

Прикладом зростаючої послідовності може служити також нескінченна послідовність парних чисел

2;  4;  6;  8;  …,

У якій кожен член в  2  рази більше свого номера.

Зростає є та і тільки та послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) більший за попереднього.

ПРИКЛАД:

Покажемо, що послідовність

зростаюча. Маємо

при  n = 1, 2, 3, …

Отже,  u_n + 1 > u_n  при  n ∈ N, тобто послідовність

зростаюча;

Аналогічно числову послідовність, яка є убиваючою функцією, прийнято називати убиваючою послідовністю.

ПРИКЛАД:

Убувають є кінцева послідовність

–2;  –4;  –6;  –8;  –10,

а також нескінченна послідовність правильних дробів з чисельником, рівним  1.

Убуває є та і тільки та послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) менший за попереднього.

Не всяка послідовність є такою, що зростає або убуває.

ПРИКЛАД:

Кінцева послідовність

8;  –6;  4;  –2;  0,

Нескінченна послідовність

5;  0;  5;  0;  5;  0;  …,

усі члени якої з непарними номерами дорівнюють  5, а з парними – 0.

Нескінченна послідовність

10;  10;  10;  10;  …,

усі члени якої рівні  10.

Послідовність  {u_n}  називається не спадною, якщо при всіх  n (n ∈ N)  справедливі нерівності

u_n ≤ u_n + 1,

тобто

u₁ ≤ u₂ ≤ u₃ ≤ … ≤ u_n ≤ … ;

Послідовність  {u_n}  називається не зростаючою, якщо при всіх  n (n ∈ N)  справедливі нерівності

u_n ≥ u_n + 1,

тобто

u₁ ≥ u₂ ≥ u₃ ≥ … ≥ u_n ≥ … ;

Зростаючи, спадні, не зростаючі і не спадні послідовності називаються монотонними, зростаючи і спадні – строго монотонними, не зростаючі і не спадні – не строго монотонними.

Послідовність, усі члени якої рівні між собою, називається постійною послідовністю.

Стала послідовність  {u_n = а}  (всі члени її рівні між собою) однозначно є не спадною і не зростаючою, тому що

u_n ≤ u_{n + 1}  і  u_n ≥ u_{n + 1} 
(u_n = u_{n + 1}) при  (n ∈ N).

Обмежені послідовності.

а) послідовність  {u_n}  називається обмеженою зверху, якщо існує таке число  М, що для всіх  n (n ∈ N)  справедливі нерівності

u_n ≤ М.

Число  М  називається верхньою межею послідовності  {u_n}.

ПРИКЛАД:

Послідовність

обмежена зверху. Дійсно,

Верхня межа даної послідовності

Очевидно, будь-яке число

також буде верхньою межею послідовності

Якщо послідовність обмежена зверху, то вона має безліч верхніх меж;

б) послідовність  {u_n}  називається обмеженою знизу, якщо існує таке число  m, що для всіх  n ∈ N  справедливі нерівності

u_n ≤ m,

Число  m  називається нижньою межею послідовності  {u_n}.

ПРИКЛАД:

Послідовність  {n²}  обмежена знизу.

Дійсно, u_n = n² ≥ 1  при  n = 1, 2, 3, … , тобто нижня межа послідовності  {n²} m =1. Очевидно, будь-яке число  a < 1  також буде нижньою межею даної послідовності. Якщо послідовність обмежена знизу, то вона має безліч нижніх меж;

в)  послідовність  {u_n}  називається обмеженою, якщо вона обмежена знизу і зверху, тобто якщо

m ≤ u_n  ≤ M  (n ∈ N).

Часто визначення обмеженої послідовності формулюють так:

Послідовність  {u_n}  називається обмеженою, якщо існує таке додатне число  М, що для всіх  n ∈ N   справедливі нерівності

|u_n| ≤ M.

Послідовність, яка не є обмеженою хоч би знизу або хоч би зверху, називається необмеженою.

Дії з послідовностями.

Сумою, різницею, добутком, часткою двох послідовностей

{u_n}  і {v_n}

Називається відповідно послідовності

(в останньому випадку  v_n ≠ 0, n ∈ N).

Добутком послідовності  {u_n}  на стале число  с  називається послідовність  {сu_n}.

ПРИКЛАД:

Знайти суму послідовностей

За визначенням маємо:

або

Геометричне зображення послідовностей.

Числову послідовність, як і числову функцію, можна зображувати геометрично за допомогою точок координатної площини. Оскільки числова послідовність – це функція, область визначення якої служить безліч  N  натуральних чисел (чи безліч перших  n  натуральних чисел), то її графіком є безліч точок координатної площини, абсциси яких – натуральні числа  1, 2, 3, ., n ., а ординати – відповідні члени послідовності.

Для геометричного зображення послідовності  

{u_n}, де  u = f(n), 

найчастіше користуються такими двома способами:

а) послідовність  {u_n}  зображають у вигляді графіка функції 

y = u_n = f(n),

який складається з ізольованих точок 

(1, u₁), (2, u₂), … , (n, u_n), …

Іноді, для наочності, ці точки послідовно з’єднують суцільними або пунктирними лініями. Цей графік називається графіком послідовності  

{u_n}:

б) послідовність  {u_n}  зображають у вигляді відповідних точок числової осі.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображений графік кінцевої послідовності

–4;  –2;  0;  2;  4.

Він складається з п'яти точок, координатами яких служать пари чисел

(1; –4), (2; –2), (3; 0), (4; 2), (5; 4).

Зауважимо, що існують послідовності, членами яких є комплексні числа, функції, фігури тощо. Далі ми будемо говорити замість <<числові послідовності>> просто <<послідовності>>, розуміючи під цим числову послідовність, членами якої є дійсні числа.

Якщо числова послідовність в якості функції буде задана на усій безлічі натуральних чисел, то така послідовність буде нескінченною числовою послідовністю.
Завдання до уроку 1 
Інші уроки:

• Урок 2. Способи завдання числової послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
• Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії