Нехай вимагається
знайти суму перших ста натуральних чисел. Відповідь можна отримати
безпосереднім складанням чисел. Проте такий спосіб рішення дуже трудомісткий.
Спробуємо знайти потрібний результат інакше.
Запишемо суму
натуральних чисел від 1 до 100 двічі, розташувавши в першому випадку доданки
в порядку зростання, а в другому – в
порядку убування:
порядку убування:
1 +
2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
100
+ 99 + 98 + … + 3 + 2 +
1.
Легко помітити, що сума
пар чисел, розташованих один під одним, одна і та ж:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …
…
= 98 + 3 + 99 + 2 = 100 + 1.
Кожна така пара чисел в сумі дасть 101, число пар дорівнює 100. Тому
Скористаємося аналогічним прикладом для виведення формули суми n перших членів арифметичної прогресії.
Позначимо суму n перших членів арифметичної прогресії (an) через Sn,
і випишемо цю суму двічі, помінявши в другому випадку порядок доданків на
зворотний:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an,
Sn = an
+ an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1.
Складемо почленно цю рівність:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …
…
+ (an-2 + a3)
+ (an-1 + a2)
+ (an + a1).
У правій частині рівності сума кожної пари чисел рівна
a1 + an.
Дійсно,
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an;
a3
+ an-2 = (a2 + d) + (an-1
– d) = a2 + an-1,
але
a2 + an-1 = a1 + an,
отже,
a3 + an-2 = a1 + an
і так далі.
число таких пар
рівне n. Тому
2Sn = (a1 + an)×n.
Звідси:
Сума n перших членів арифметичної прогресії рівна
ПРИКЛАД:
Знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії (аn):
1; 3,5; … .
Перший член прогресії 1, різниця 2,5. Знайдемо 20-й член цієї прогресії:
а20 = 1 + 2,5(20 – 1) =
1 + 2,5 × 19 = 48,5.
У формулі
сума n перших членів арифметичної прогресії виражена через перший член, n-й член і число підсумовуваних членів прогресії. Іноді зручно користуватися формулою суми n перших членів, представленою в іншому виді
член прогресії an вираженням
a1 + d(n – 1).
Тоді
У цій формулі сума n перших членів прогресії виражена через перший член, різниця прогресії і число членів.
ПРИКЛАД:
Знайти суму всіх трицифрових чисел, кратних 4, та менших за 250.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Вказані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої a1 = 100, різниця d = 4. За формулою n-го члена одержимо:
an = 100 + 4(n – 1) = 4n + 96.
Щоб знайти кількість членів прогресії, складемо та розв’яжемо нерівність:
4n + 96 < 250, n < 38,5.
Отже, потрібно знайти суму 38 перших членів арифметичної прогресії. Знаходимо:
ВІДПОВІДЬ: 6612
ПРИКЛАД:
Шість чисел утворюють арифметичну прогресію (аn). Сума перших трьох її членів дорівнює –24, а сума трьох останніх дорівнює 12. Знайти ці числа.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Урахувавши, що
S3 = –24, S6= –24 + 12 = –12,
складемо і розв'яжемо систему:
–3d = –12, d = 4.
a1 = –8 – 4 = –12,
a2 = –12 + 4 = –8,
a3 = –8 + 4 = –4,
a4 = –4 + 4 = 0,
a5 = 0 + 4 = 4,
a6 = 4 + 4 = 8.
ВІДПОВІДЬ: –12; –8; –4; 0; 4; 8.
ПРИКЛАД:
Арифметична прогресія (аn) задана формулою загального члена
аn = 7 – 3n.
Знайдіть суму десяти перших членів прогресії.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
аn = 7 – 3n,
a1 = 4,
a2 = 1,
d = –3.
ВІДПОВІДЬ: –95
ПРИКЛАД:
Чому дорівнює перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює 0,8, а сума перших десяти членів дорівнює 22 ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
44 = 2a1 + 7,2, 2a1 = 36,8,
a1 = 18,4.
ВІДПОВІДЬ: 18,4
ПРИКЛАД:
Обчисліть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а12 = 52, а різниця прогресії d = 5.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
а12 = a1 + 11d,
а1 = a12 – 11d =
52 – 55 = –3.
ВІДПОВІДЬ: 294
Завдання до уроку 6
Інші уроки:
- Урок 1. Поняття послідовності
- Урок 2. Способи завдання числової послідовності
- Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
- Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
- Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
- Урок 7. Визначення геометричної прогресії
- Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
- Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії
Комментариев нет:
Отправить комментарий