Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії

Знаючи перший член  b₁  і знаменник  q  геометричної прогресії  (b_n), можна шляхом послідовних обчислень знайти другою, третій і взагалі будь-який її член. Проте при знаходженні членів з досить великими номерами зручніше користуватися формулою, яка виражає будь-який член послідовності  (b_n)  через перший член  b₁, знаменник прогресії  q  і номер шуканого члена  n.

З визначення прогресії виходить, що

b₂ = b₁ × q,

b₃ = b₂ × q = (b₁ × q) × q = b₁ × q²,

b₄ = b₃ × q = (b₁ × q²) × q = b₁ × q³,

b₅ = b₄ × q = (b₁ × q³) × q = b₁ × q⁴  і т. д.

Взагалі, формула загального члена геометричної прогресії:

ПРИКЛАД:

У геометричній прогресії  (b_n)

b₁ = 0,8  і  q = ¹/₂.

Знайти  b₁₀.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою

b_n = b₁ × q^n-1:

ПРИКЛАД:

У геометричній прогресії  (c_n)

c₁ = –27  і  q = ¹/₃.

Знайти  n-й член цієї прогресії.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

З формули  c_n = c₁ × q^n-1  маємо:

ПРИКЛАД:

Після кожного руху поршня розріджуючого насоса з посудини видаляється  20%  повітря, що знаходиться в нім. Визначити тиск повітря усередині посудини після шести рухів поршня, якщо первинний тиск був рівним  750 мм рт. ст.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки після кожного руху поршня з посудини видаляється  20%  повітря, що знаходиться в нім, то в нім залишається  80%, або інакше,  ⁴/₅  число, що показує значення тиску повітря після попереднього руху поршня. Число, що вказує послідовно значення первинного тиску повітря в посудині, величину тиску після одного руху поршня, після двох рухів, після трьох і т. д., утворюють геометричну прогресію, перший член якої дорівнює  750, а знаменник рівний  ⁴/₅. Числове значення тиску повітря після шести рухів поршня, виражене в мм рт. ст., є сьомим членом цієї прогресії, значить, воно дорівнює твору

750 × (⁴/₅)⁶.

Зробивши обчислення, отримаємо:

Итак, після шести рухів поршня тиск повітря в посудині дорівнює  197 мм рт. ст.

Завдання до уроку 8
Інші уроки:

• Урок 1. Поняття послідовності
• Урок 2. Способи завдання числової послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії