Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 10 сентября 2019 г.

Урок 7. Решение задач с помощью векторов

ВИДЕО УРОК
При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой.
Провести анализ условия задачи:

– выяснить в какой системе координат (двумерной или трёхмерной) рассматривается данная задача;
– записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертёж по условию задачи.

Перевести условие задачи и требования к векторному виду. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи. Перевести полученный результат на геометрический язык.

ПРИМЕР:

Пусть дан параллелограмм  ABCD, диагонали которого пересекаются в точке  О.
Выразить через векторы
следующие векторы:
РЕШЕНИЕ:

а) Произведём сложение по правилу треугольника, получим:
Из первого правила разности двух векторов, получаем:
б) Так как
получим
или
Используя правило треугольника, окончательно получим:
ЗАДАЧА:

Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах:
РЕШЕНИЕ:

Найдём смешанное произведение заданных векторов, для этого составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов:

2 × 4 × 7 + 1 × 5 × 5 + 3 × 4 × 3 –
3 × 4 × 5 – 5 × 4 × 2 – 1 × 3 × 7 = –4.
ЗАДАЧА:

В кубе  ADCDA1B1C1D1  точки  Е  и  К – середины рёбер соответственно  A1B1  и  B1C1. Найдите косинус угла между прямыми  АЕ  и  ВК.

РЕШЕНИЕ:

Куб хорошо вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертёж.
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между  АЕ  и  ВК  от неё не зависит. Поэтому возьмём единичный куб, все рёбра которого равны  1.
Прямые  АЕ  и  ВК – скрещиваются. Для нахождения угла между векторами
надо найти их координаты:

А(0; 0; 0),
В(1; 0; 0),
Е(1/2; 0; 1),
К(1; 1/2; 1).

Запишем координаты векторов
:
Найдём косинус угла между векторами:
Воспользуемся формулой:
Тогда
ОТВЕТ:   cos φ = 4/5

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде  SABCD, все рёбра которой равны  1, точки  Е, К – середины рёбер  SB  и  SC  соответственно. Найдите косинус угла между прямыми  АЕ  и  ВК.

РЕШЕНИЕ:

Выберем начало координат в центре основания пирамиды, а оси 
Х  и  Y  начертим параллельно сторонам  основания.
Находим координаты точек  А, В, С.

А(1/2; –1/2; 0),
В(1/2; 1/2; 0),
С(1/2; –1/2; 0).

Из прямоугольного треугольника 
AOS  найдём
Координаты вершины пирамида
Точка  Е – середина  SB, а  К – середина  SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдём координаты точек  Е  и  К.
Найдём координаты векторов
 
Найдём косинус угла между ними:
Воспользуемся формулой:
 
Тогда
ОТВЕТ:   cos φ = 2/3

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

ЗАДАЧА:

В правильной треугольной призме  ABCA1B1C1, все рёбра которой равны  1, точка  D – середина ребра  A1B1. Найдите косинус угла между прямыми  AD  и  B C1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка 
А – начало координат. Возьмём ось  Х  параллельно стороне  ВС, а ось  Y  перпендикулярно её. Другими словами, на оси    будет лежать отрезок  АН, являющийся высотой треугольника  АВС. 
Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:

А(0; 0; 0),
А1(0; 0; 1),
Точка  D – середина  A1B1. Пользуясь формулами для координат середины отрезка, находим:
Найдём координаты векторов
А затем косинус угла между ними:
Воспользуемся формулой:
 
Тогда
ОТВЕТ:

Комментариев нет:

Отправить комментарий