Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 7. Решение задач с помощью векторов

ВИДЕО УРОК

При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой.

Провести анализ условия задачи:

– выяснить в какой системе координат (двумерной или трёхмерной) рассматривается данная задача;

– записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертёж по условию задачи.

Перевести условие задачи и требования к векторному виду. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи. Перевести полученный результат на геометрический язык.

ПРИМЕР:

Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О.

Выразить через векторы

следующие векторы:

РЕШЕНИЕ:

а) Произведём сложение по правилу треугольника, получим:

Из первого правила разности двух векторов, получаем:

б) Так как

получим

или

Используя правило треугольника, окончательно получим:

ЗАДАЧА:

Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах:

РЕШЕНИЕ:

Найдём смешанное произведение заданных векторов, для этого составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов:

2 × 4 × 7 + 1 × 5 × 5 + 3 × 4 × 3 –

3 × 4 × 5 – 5 × 4 × 2 – 1 × 3 × 7 = –4.

ЗАДАЧА:

В кубе ADCDA₁B₁C₁D₁ точки Е и К – середины рёбер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

РЕШЕНИЕ:

Куб хорошо вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертёж.

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между АЕ и ВК от неё не зависит. Поэтому возьмём единичный куб, все рёбра которого равны 1.
Прямые АЕ и ВК – скрещиваются. Для нахождения угла между векторами

надо найти их координаты:

А(0; 0; 0),

В(1; 0; 0),

Е(¹/₂; 0; 1),

К(1; ¹/₂; 1).

Запишем координаты векторов:

Найдём косинус угла между векторами:

Воспользуемся формулой:

Тогда

ОТВЕТ: cos φ = ⁴/₅

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точки Е, К – середины рёбер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

РЕШЕНИЕ:

Выберем начало координат в центре основания пирамиды, а оси Х и Y начертим параллельно сторонам основания.

Находим координаты точек А, В, С.

А(¹/₂; –¹/₂; 0),

В(¹/₂; ¹/₂; 0),

С(–¹/₂; –¹/₂; 0).

Из прямоугольного треугольника AOS найдём

Координаты вершины пирамида

Точка Е – середина SB, а К – середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдём координаты точек Е и К.

Найдём координаты векторов

Найдём косинус угла между ними:
Воспользуемся формулой:

Тогда

ОТВЕТ: cos φ = ²/₃

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

ЗАДАЧА:

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1, точка D – середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и B C₁.

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка А – начало координат. Возьмём ось Х параллельно стороне ВС, а ось Y перпендикулярно её. Другими словами, на оси будет лежать отрезок АН, являющийся высотой треугольника АВС. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.