Урок 7. Рішення завдань за допомогою векторів

ВІДЕО УРОК

При рішенні геометричних завдань векторним методом рекомендується користуватися наступною схемою.

Провести аналіз умови завдання:

– з'ясувати в якій системі координат (двовимірною або тривимірною) розглядається це завдання;

– записати, що нам дане, що треба знайти або довести, а також 

побудувати креслення по умові завдання.

Перевести умову завдання і вимоги до векторного виду. Скласти векторні співвідношення, що відповідають тому, що дано в завданні і привести їх до векторних співвідношень, що відповідають вимогам завдання. Перекласти отриманий результат геометричною мовою.

ПРИКЛАД:

Нехай даний паралелограм  ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці  О.

Виразити через вектори

наступні вектори:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а) Зробимо складання за правилом трикутника, отримаємо:

З першого правила різниці двох векторів, отримуємо:

б) Оскільки

отримаємо

або

Використовуючи правило трикутника, остаточно отримаємо:

ЗАДАЧА:

Обчислити обсяг піраміди, побудованої на векторах:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо мішаний добуток заданих векторів, для цього складемо визначник, по рядках якого запишемо координати векторів:

2 × 4 × 7 + 1 × 5 × 5 + 3 × 4 × 3 – 3 × 4 × 5 – 5 × 4 × 2 – 1 × 3 × 7 = –4.

ЗАДАЧА:

У кубі  ADCDA₁B₁C₁D₁  точки  Е  і  К – середини ребер відповідно A₁B₁  і  B₁C₁. Знайдіть косинус кута між прямими  АЕ  і  ВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Куб добре вписується в прямокутну систему координат. Будуємо креслення.

Довжина ребра куба не дана. Якою б вона не була, кут між  АЕ  і  ВК від неї не залежить. Тому візьмемо одиничний куб, всі ребра якого рівні  1.
Прямі  АЕ  і  ВК – схрещуються. Для знаходження кута між векторами

треба знайти їх координати:

А(0; 0; 0),

В(1; 0; 0),

Е(¹/₂; 0; 1),

К(1; ¹/₂; 1).

Запишемо координати векторів:

Знайдемо косинус кута між векторами:

Скористаємося формулою:

Тоді

ВІДПОВІДЬ:   cos φ = ⁴/₅

ЗАДАЧА:

У правильної чотирикутної піраміді  SABCD, всі ребра якої рівні 1, точки Е, К – середини ребер  SB  і  SC  відповідно. Знайдіть косинус кута між прямими  АЕ  і  ВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виберемо початок координат в центрі підстави піраміди, а осі  Х  і  Y  накреслив паралельно сторонам підстави.

Знаходимо координати точок  А, В, С.

А(¹/₂; –¹/₂; 0),

В(¹/₂; ¹/₂; 0),

С(–¹/₂; –¹/₂; 0).

З прямокутного трикутника  AOS  знайдемо

Координати вершини піраміді

Точка  Е – середина  SB, а  К – середина  SC. Скористаємося формулою для координат середини відрізка і знайдемо координати точок  Е  і  К.

Знайдемо координати векторів

Знайдемо косинус кута між ними.
Скористаємося формулою:

Тоді

ВІДПОВІДЬ:   cos φ = ²/₃

Покажемо тепер, як вписати систему координат в трикутну призму.

ЗАДАЧА:

У правильній трикутній призмі  ABCA₁B₁C₁, всі ребра якої рівні  1, точка  D – середина ребра  A₁B₁. Знайдіть косинус кута між прямими  AD  і  BC₁.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай точка  А – початок координат. Візьмемо вісь  Х  паралельно 

стороні  ВС, а вісь  Y  перпендикулярно її. Іншими словами, на осі буде лежати відрізок  АН, який є висотою трикутника  АВС. Намалюємо окремо нижня частина призми.

Запишемо координати точок:

А(0; 0; 0),

А₁(0; 0; 1),

Точка  D – середина  A₁B₁. Користуючись формулами для координат середини відрізка, знаходимо:

Знайдемо координати векторів

А потім косинус кута між ними:

Скористаємося формулою:

 

Тоді

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Поняття вектора
• Урок 2. Координати вектора
• Урок 3. Складання і віднімання векторів
• Урок 4. Добуток векторів
• Урок 5. Вектори в просторі
• Урок 6. Дії над векторами в просторі
• Урок 8. Перетворення фігур