Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 10 сентября 2019 г.

Урок 7. Рішення завдань за допомогою векторів

ВІДЕО УРОК

При рішенні геометричних завдань векторним методом рекомендується користуватися наступною схемою.
Провести аналіз умови завдання:

– з'ясувати в якій системі координат (двовимірною або тривимірною) розглядається це завдання;
записати, що нам дане, що треба знайти або довести, а також 
побудувати креслення по умові завдання.

Перевести умову завдання і вимоги до векторного виду. Скласти векторні співвідношення, що відповідають тому, що дано в завданні і привести їх до векторних співвідношень, що відповідають вимогам завдання. Перекласти отриманий результат геометричною мовою.

ПРИКЛАД:

Нехай даний паралелограм  ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці  О.
Виразити через вектори
наступні вектори:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а) Зробимо складання за правилом трикутника, отримаємо:
З першого правила різниці двох векторів, отримуємо:
б) Оскільки
отримаємо
або
Використовуючи правило трикутника, остаточно отримаємо:
ЗАДАЧА:

Обчислити обсяг піраміди, побудованої на векторах:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо мішаний добуток заданих векторів, для цього складемо визначник, по рядках якого запишемо координати векторів:

2 × 4 × 7 + 1 × 5 × 5 + 3 × 4 × 3 – 3 × 4 × 5 – 5 × 4 × 2 – 1 × 3 × 7 = –4.
ЗАДАЧА:

У кубі  ADCDA1B1C1D1  точки  Е  і  К – середини ребер відповідно A1B1  і  B1C1. Знайдіть косинус кута між прямими  АЕ  і  ВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Куб добре вписується в прямокутну систему координат. Будуємо креслення.
Довжина ребра куба не дана. Якою б вона не була, кут між  АЕ  і  ВК від неї не залежить. Тому візьмемо одиничний куб, всі ребра якого рівні  1.
Прямі  АЕ  і  ВК – схрещуються. Для знаходження кута між векторами
треба знайти їх координати:

А(0; 0; 0),
В(1; 0; 0),
Е(1/2; 0; 1),
К(1; 1/2; 1).

Запишемо координати векторів:
Знайдемо косинус кута між векторами:
Скористаємося формулою:
Тоді
ВІДПОВІДЬ:   cos φ = 4/5

ЗАДАЧА:

У правильної чотирикутної піраміді  SABCD, всі ребра якої рівні 1, точки Е, К – середини ребер  SB  і  SC  відповідно. Знайдіть косинус кута між прямими  АЕ  і  ВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виберемо початок координат в центрі підстави піраміди, а осі  Х  і  Y  накреслив паралельно сторонам підстави.
Знаходимо координати точок  А, В, С.

А(1/2; –1/2; 0),
В(1/2; 1/2; 0),
С(1/2; –1/2; 0).
З прямокутного трикутника  AOS  знайдемо
Координати вершини піраміді
Точка  Е – середина  SB, а  К – середина  SC. Скористаємося формулою для координат середини відрізка і знайдемо координати точок  Е  і  К.
Знайдемо координати векторів
Знайдемо косинус кута між ними.
Скористаємося формулою:
Тоді
ВІДПОВІДЬ:   cos φ = 2/3

Покажемо тепер, як вписати систему координат в трикутну призму.

ЗАДАЧА:

У правильній трикутній призмі  ABCA1B1C1, всі ребра якої рівні  1, точка  D – середина ребра  A1B1. Знайдіть косинус кута між прямими  AD  і  BC1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай точка  А – початок координат. Візьмемо вісь  Х  паралельно 
стороні  ВС, а вісь  Y  перпендикулярно її. Іншими словами, на осі буде лежати відрізок  АН, який є висотою трикутника  АВС. Намалюємо окремо нижня частина призми.

Запишемо координати точок:

А(0; 0; 0),
А1(0; 0; 1),
Точка  D – середина  A1B1. Користуючись формулами для координат середини відрізка, знаходимо:
Знайдемо координати векторів
А потім косинус кута між ними:
Скористаємося формулою:
 
Тоді
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 7

Комментариев нет:

Отправить комментарий